Основные понятия классической теории поля

Основная задача теории поля

Основной задачей классической теории поля является определение пространственного распределения векторных и (или) скалярных полей по заданному распределению источников поля в этом пространстве («прямая» задача).

Так же возможна постановка и «обратной» задачи, т. е. задачи определение распределения источников поля в пространстве по заданному распределению векторного поля и (или) поля скалярного потенциала в этом пространстве.

Таким образом, постановка задачи об определении распределения поля в пространстве без учета распределения источников поля бессмысленна с позиции классической теории поля в рамках основной задачи теории поля.

Определение вектора поля в общем виде

Из классической теории поля следует существование трех видов векторных полей:

• 1) градиентное поле вектор поля является градиентом скалярного потенциала,
• 2) вихревое поле вектор поля является ротором векторного потенциала,
• 3) смешанное поле вектор поля является суммой градиента скалярного потенциала и ротора векторного потенциала, что сформулировано в основной теореме классической теории поля теореме Гельмгольца [2(а;б;в;г)].

Теорема Гельмгольца Всякое однозначное и непрерывное векторное поле F, обращающееся в нуль в бесконечности, может быть представлено, и притом единственным образом, в виде суммы градиента некоторой скалярной функции ?? и ротора некоторой векторной функции A, дивергенция которой равна нулю:

F = grad j + rot A ,.

div A = 0.

где:—j — скалярный потенциал поля F,.

A — векторный потенциал поля F,.

при условии что:

j (r) = ,.

A (r).

и эти интегралы предполагаются существующими [2, г].

Тогда, согласно основной задаче теории поля, для отыскания распределения поля вектора F в пространстве необходимо задать распределение в этом пространстве источников (возбудителей) поля вектора F, т. е. значения функций div (grad?) и rot (rotA), составляя дифференциальные уравнения в частных производных, решением которых с соответствующими краевыми, и начальными условиями и будет поле искомого вектора F.

Очевидно, что задача однородного распределения источников поля в бесконечном пространстве, т. е. удовлетворяющая след. соотношению:

F 0,.

не рассматривается, как не имеющая физического смысла и приводящая к математическим парадоксам.

При решении различных прикладных задач часто используется бытующее заблуждение об условности разделения полей на градиентные и вихревые, основанное на неверной интерпретации суперпозиции вихревого и градиентного полей, имеющей место в определении вектора поля в общем виде (теорема Гельмгольца). Рассмотрим возможность подобной интерпретации. Пусть мы имеем некоторое поле вектора F, удовлетворяющее следующему условию:

F grad j rot A

Подействуем оператором «rot «на данный вектор,.

rot F rot grad—j— rot rot A

Т.к. ротор градиента j тождественно равен нулю, ротор ротора A тоже равен нулю по всему пространству существования вектора A .

Подействуем оператором «div» на вектор F,.

div F div grad j div rot A ,.

но, дивергенция ротора тождественно равна нулю, следовательно, дивергенция градиента тоже равна нулю по всему пространству существования поля градиента .

Из полученных соотношений видно, что, если разделение полей на градиентные и вихревые условно, то отвечающее этому условию векторное поле не имеет источников в пространстве существования поля и, следовательно, не является объектом классической теории поля, как не отвечающее основной задаче теории поля. Условность разделения полей на градиентные и вихревые, выполняется также при тождественном равенстве нулю поля F.

Таким образом, в рамках основной задачи классической теории поля не существует отличных от нуля полей, для которых выполнялась бы условность разделения полей на градиентные и вихревые, и, следовательно, разделение полей на градиентные и вихревые не условно, а фундаментально.