Критерии оценки грубых погрешностей

Источником грубых погрешностей нередко бывают ошибки, допущенные оператором во время измерений. К ним можно отнести:

• • неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;
• • неправильные записи результата наблюдений, неправильные записи значений отдельных мер использованного набора, например весов.

Эти грубые погрешности, как правило, возникают при однократных измерениях и обычно устраняются путем повторных измерений.

Причинами грубых погрешностей могут быть внезапные и кратковременные изменения условий измерения или оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре.

Вопрос о том, содержит ли результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения х, — не содержит грубой погрешности, т. е. является одним из значений измеряемой величины. Если гипотеза отвергается, то результат наблюдений рассматривают как содержащий грубую погрешность, если нет — то не исключают. Для выявления грубых погрешностей t_r задаются вероятностью, а того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов измерений. Эту вероятность называют уровнем значимости, а = 1 -р. Обычно его выбирают равным 0,1; 0,05 и по справочнику с учетом числа измерений п находят t_r. Его сравнивают с вычисленными значениями t, которые определяют по формуле.

Если окажется, что t < t_r, то в результатах отсутствует грубая погрешность, в противном случае результат содержит грубую погрешность и его из обработки исключают.

Пример 2.4.

Определить, содержится ли грубая погрешность в результатах шестикратного взвешивания изделия: 72,361, 72,352, 72,357, 72,346, 72,344, 72,340 (г) при доверительной вероятности р = 0,975.

Решение. При* = 72,350 г, а = 0,0081 г вычислим.

При, а = 0,025 и п = 6 найдем 1_табл = 2,10. Грубых погрешностей в результатах нет.

Пример 2.5.

Ошибки п = 15 измерений дальности до цели с помощью радиодальнометра представлены в табл. 2.3.

Таблица 2.3. Результаты измерения дальности.

Требуется построить распределение выборки и статическую функцию распределения F (x) и определить выборочное среднее т_х и выборочную дисперсию D (x) ошибки измерения.

Решение. Вариационный ряд имеет вид-15, -15, -10, -10, -10, -5, -5, -5, -5, 6, 6, 6, 12, 12, 18. Он содержит шесть различных значений: -15, -10, -5, 5,12,18. Частоты распределения этих значений равны соответственно 2, 3, 4, 3, 2, 1.

Распределения выборки представлены в табл. 2.4.

Таблица 2.4. Распределения выборки.

Наименьшее значение ошибки измерения X равно -15, следовательно, F (x) = 0 приХ< -15. ЗначениеХ < -10, а именноХ = -15, наблюдалось два раза, поэтому F (x) = 2/15 при -15 < х < -10; при-10 < х< -5 F (x) = 2/15 + 3/15 = 5/15. Продолжая аналогичные рассуждения, получим результаты, приведенные в табл. 2.5.

Таблица 2.5. Частоты распределения.

Используя формулы.

получаем.

Пример 2.6.

В течение 24 ч регистрирующее устройство контроля каждый час фиксирует напряжение сети. После первичной обработки данных получено распределение выборки в интервальной форме, приведенное в табл. 2.6.

Таблица 2.6. Распределение выборки в интервальной форме.

Построить гистограмму выборки.

Решение. Из приведенных выше данных видно, что частотные интервалы одинаковы: /i, = h = 2 В.

Отсюда получим.

Для построения гистограммы отложим по оси абсцисс указанные частотные интервалы и на каждом из них построим прямоугольник высотой Pj/h i = 1, 2, 3, 4, 5. Например, над интервалом 219—221 прямоугольник имеет высоту 0,208.

Пример 2.7

Произведено 16 независимых измерений сл. в. X, распределенной по нормальному закону. По выборке найдено выборочное среднее т* = 4,1. Оценить неизвестное математическое ожидание т_х сл. в. X по выборочной средней при помощи доверительного интервала с надежностью р = 0,95, если:

среднее квадратическое отклонение ст величины X известно и равно 1;

среднее квадратическое отклонение о_х неизвестно, а выборочное среднее квадратическое отклонение величины (X) s = 1.

Решение. 1) По условию р = 0,95, следовательно, Ф (г_р) = = (1+р)/2 = 0,975. Из приложения 3 находим значение z_p = 1,96, которому соответствует Ф (г_р) = 0,975. Определим точность оценки S = z_pa_x/in = l, 96Vl6 = 0,49.

В соответствии с формулой.

При m* = 4,1 доверительный интервал имеет границы т_х = 4,1 — 0,49 = 3,61; т_х + 0,49 = 4,1 + 0,49 = 4,59. Таким образом, значения неизвестного параметра т_х, согласующиеся с данными выборками, удовлетворяют неравенству 3,61 < т_х < 4,59.

2) Случайная величина Т = (m* - подчиняется f-pac;

пределению Стьюдента с к = п — 1 степенями свободы, поэтому доверительный интервал строится по формуле.

По условию /с = п — 1 = 16 — 1 = 15, а = 1-р, а/2 = (1 -р)/2 = = (1 — 0,95)/2 = 0,025. Из приложения 8 получаем t₀₀₂₅ = 2,131. Тогда доверительные границы равны:

В данном случае с надежностью р = 0,95 неизвестный параметр заключен в доверительном интервале 3,75 < т_х < 4,63.