Траектории решения. 
Математика в экономике

определенная и некоторой окрестности точки л₀ и принимающая при х — х₀ заданные начальные условия:

В теории динамических систем в качестве независимой переменной рассматривается время I. Тогда система уравнений (19.34) записывается в виде:

с формальной заменой переменной х на переменную / и вектора неизвестных , — _м -(0) функции у на вектор х. Пусть в момент времени /₀ задан начальный вектор Л' как совокупность п начальных значений типа (19.33). Тогда решения этой системы.

определяют движение точки в пространстве RV из начальной точки ^_<х}⁰а4°"_мл?^,)|. Кривая, описываемая точкой при движении, называется траекторией движения. При соблюдении условий теоремы Коши 19.8 из каждой начальной точки может выходить только одна траектория.

Задача Коши и краевая задача для дифференциального уравнения п-го порядка

Условия (19.35) выделяют частное решение уравнения (19.28), т.с. по заданным значениям искомой функции у₀ и ее производных у'₀>…, в точке лг₀ из множества интегральных кривых, проходящих через эту точку, выделяется одна. Таким образом, по заданным условиям (19.35) находятся конкретные значения постоянных в равенстве (19.36), которые и определяют вид частного решения уравнения л-ro порядка:

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения л-го порядка, когда все л условий заданы в одной точке х = х₀, называется задачей Коши для этого уравнения.

Бывают задачи, в которых требуется определить частное решение, когда часть (к) условий задана в одной точке, а остальные (л — г) условий — в другой точке, например:

(г-1) (г) (я-1) ₀

где у, у,…" у, у₂ «—» У ~ заданные числа. Задача такого рода называется краевой задачей для дифференциального уравнения п-го порядка. В точках х = а н х = b вместо значений функции и ее производных заданы значения их линейных комбинаций; такие условия называются смешанными, а задача определения частного решения дифференциального уравнения л-ro порядка (л > 2) — смешанной краевой задачей.

Вопрос о существовании и единственности решения краевых задач для уравнений л-го порядка требует своего решения в каждом конкретном случае дифференциального уравнения и разновидности краевых условий.