Свойства бесконечно малых

Важную роль бесконечно малых в теории пределов выражает следующая теорема.

Теорема 6.1. Всякая функция, имеющая предел, представима в виде суммы постоянной и бесконечно малой.

Доказательство. Пусть функция у = /(*) имеет предел Ь. По определению предела, модуль разности функции и ее предела может быть сделан меньше любого сколь угодно малого положительного 8. Поэтому эта разность (обозначим ее ср (х)):

есть величина бесконечно малая и.

Теорема 6.2. Если функцию y = f (x) можно представить в виде суммы постоянной величины b и бесконечно малой ф (х), то Ит/(х) = Ь.

Перечислим другие свойства бесконечно малых.

• 1. Сумма, разность, произведение двух бесконечно малых являются бесконечно малыми.
• 2. Произведение бесконечно малой на величину постоянную — величина бесконечно малая.
• 3. Произведение бесконечно малой на величину ограниченную — величина бесконечно малая.
• 4. Произведение величины, имеющей конечный предел, на величину бесконечно малую — величина бесконечно малая.

Заметим, что отраженный в этих свойствах приоритет бесконечно малых интуитивно предсказуем (по аналогии с тем, как 0 + 0 = 0, 7 0 = 0, 0-sinx = 0 и т. п.).

Покажем общий принцип доказательства этих свойств на примере произведения бесконечно малых.

Пусть (р (х) и ц/(х) — две бесконечно малые, например, при х —" ⁰⁰. Тогда для любого сколь угодно малого 8 существует такое N_v что для всех х, удовлетворяющих условию: х > Nj выполняется неравенство: |ф (х)| < 8. Аналогично для числа 1 существует такое А₂, что для всех х, отвечающих условию: x>N₂, выполняется неравенство |ц/(х)| < 1. Наибольшее из чисел N_x и N₂ примем за N. Тогда для всех х, удовлетворяющих условию: x>N_y одновременно выполняются оба неравенства: |ф (х)| < 8, |ф (х)| < 1. Следовательно, выполняется и неравенство, полученное их почленным умножением:

Полученное неравенство показывает, что произведение ф (х) • |/(х) — величина бесконечно малая.

Перечисляя свойства бесконечно малых, мы не случайно ни словом не обмолвились об отношении двух бесконечно малых. Дело в том, что без дополнительного исследования об отношении (другими словами, о частном) конкретных бесконечно малых ничего определенного сказать нельзя. Вначале каждое такое отношение представляет неопределенность, как условились говорить типа «Ц», которую нужно раскрыть. Аналогично отношение или разность двух бесконечно больших также представляют неопределенности типа «< — «или типа «оо-оо». Вычислив предел переменою ной величины такой природы, мы определяем, какое место занимает данное отношение или разность в нашей классификации. Подчеркнем, что сами эти символы не имеют никакого числового смысла, они лишь указывают на наше понимание исходной проблемы. Раскрытие неопределенностей является одной из важных и содержательных задач в теории пределов.