Синтез оптимальной по интегральному квадратичному критерию стационарной линейной системы управления

Постановка задачи. Пусть объект описывается уравнением.

и критерий оптимальности имеет вид.

Здесь Q и R — положительно определенные матрицы; все матрицы А, В, Q и R являются постоянными, объект стабилизируем.

Требуется найти оптимальное управление с обратной связью, переводящее систему из произвольной начальной точки х (0) = х° в конечную точку х (оо) = 0 и обеспечивающее минимум функционалу (10.276).

Эту задачу называют задачей синтеза стационарного линейного регулятора состояния.

Утверждение 10.2. Задача (10.27) имеет решение тогда и только тогда, когда объект (10.27а) стабилизируем и оптимальное управление имеет вид

где К — постоянная положительно определенная симметрическая (п х п) -матрица, определяемая из уравнения

называемого алгебраическим уравнением Риккати. Для любого? ^ 0 справедливо равенство.

Доказательство. Соотношения (10.28) и (10.29) получаются точно так же, как и аналогичные соотношения при решении нестационарной задачи. Только в данном случае функция Веллмана отыскивается в виде квадратичной формы 5(х) = х^тКх, где К — постоянная положительно определенная симметрическая (п х п)-матрица.

Следует иметь в виду, что если ?/ является конечным фиксированным числом, то и в том случае, когда матрицы А, В, Q и R являются постоянными, матрица К в оптимальном законе управления зависит от времени и находится из дифференциального уравнения Риккати.

Покажем, что стабилизируемость является необходимым и достаточным условием существования решения задачи синтеза оптимального стационарного линейного регулятора. Необходимость очевидна. Действительно, стабилизируемость означает, что неуправляемая составляющая Xj_ стремится к нулю при? —> оо. Если это условие не выполняется, то фазовый вектор замкнутой системы при х_|_ ф 0 не будет с течением времени стремиться к нулю, так как управление и соответственно присоединение регулятора к объекту никакого влияния на неуправляемую составляющую хх не оказывают.

Чтобы доказать достаточность, нужно показать, что существует положительно определенная матрица, удовлетворяющая алгебраическому уравнению Риккати и что замкнутая система асимптотически устойчива. Представим критерий оптимальности в виде.

Функция Веллмана S (x, t; tf) при фиксированных х и t является функцией от tf, причем функцией монотонно неубывающей. Действительно, если t’i ^ t’fy то.

так как под интегралом стоит неотрицательное выражение.

Покажем, что эта функция ограничена сверху. Так как объект стабилизируем, существует управление с обратной связью, при котором замкнутая система асимптотически устойчива. При таком управлении выражение под знаком минимума в (10.30) сходится к конечному пределу при tf оо. Этот предел является верхней границей функции 5(х, t; tf). Таким образом, 5(х,t tf) как функция от tf является монотонно неубывающей и ограниченной сверху. Следовательно, существует предел этой функции при tf —> оо. Из равенства.

где справа от tf зависит только K (t), следует, что существует предел функции K (t) при tf -> оо, и этот предел, который обозначим К_п, не зависит от F, т. е. от граничного условия K (tf) = F. Действительно, имеем.

так как x (tf) -" 0 при tf —" оо. Из этого равенства также следует, что матрица К_п, являющаяся единственным установившимся решением дифференциального уравнения Риккати, положительно определена, так как матрицы Q и R положительно определены. Из (10.29) и (10.31).

откуда К = К_и. Таким образом, К является единственной положительно определенной матрицей, удовлетворяющей алгебраическому уравнению Риккати.

имеем Подставив управление (10.28а) в уравнение объекта, получим уравнение замкнутой системы.

Утверждение 10.3. Функция Веллмана S (x) = x^TKx (см. (10.29)) является функцией Ляпунова для оптимальной системы управления (10.27а)-(10.28), или (10.32а), в которой К — положительно определенная матрица, являющаяся решением алгебраического уравнения Риккати (10.286).

Доказательство. Функция S (x) = х^тКх, как было показано, является положительно определенной функцией. Ее полная производная по времени в силу уравнения (10.32а) имеет вид.

или, с учетом алгебраического уравнения Риккати,.

Квадратичная форма x^TKBR~¹B^TKx положительно полуопределена, так как матрица R и соответственно обратная матрица Я"¹ положительно определены и, следовательно, z^TR~^lz ^ 0, где z = В^ТКх. Матрица Q положительно определена по условию. Следовательно, производная dS/dt отрицательно определена.

Алгебраическое уравнение Риккати является нелинейным, и в общем случае аналитически решить его не удается. Как было показано выше, искомое решение этого уравнения совпадает с установившимся решением дифференциального матричного уравнения Риккати. Поэтому один из возможных способов его решения основан на нахождении установившегося решения матричного уравнения Риккати (10.26), записанного в обратном времени, при начальном условии К (0) = F, где F — произвольная положительно полуопределенная симметрическая матрица.

Пример 10.3. Определить оптимальное управление с обратной связью в следующей задаче оптимального управления:

Решение. В данной задаче имеем Решение. В данной задаче имеем.

В соответствии с (10.28а) и (10.286) оптимальный закон управления имеет вид.

где kij определяются из уравнения.

или из равносильной ему системы Эта система имеет решения.

Критерию Сильвестра положительной определенности матрицы К удовлетворяет решение.

Оптимальный закон управления имеет вид.

Пример 10.4. Определить, при каких значениях параметра, а задача оптимального управления.

имеет решение.

Решение. В данной задаче имеем.

В соответствии с (10.28а) и (10.286) оптимальный закон управления имеет вид.

где определяются из уравнения 328.

или из системы.

Эта система имеет решения.

Критерий Сильвестра положительной определенности матрицы К будет выполнен, если кц > 0 и А?22 > 0. Второе неравенство будет выполнено и задача будет иметь решение, если а < 0. При а > 0 задача не имеет решения. Это обусловлено тем, при этих значениях параметра объект не стабилизуем.