Наиболее вероятное число успехов

Биномиальная вероятность Р"(т) с ростом т и при постоянном р растет до некоторого максимального значения, затем убывает. Число т, при котором биномиальная вероятность достигает своего максимального значения, называют наиболее вероятным (наивероятнейшим) числом успехов.

Теорема 3.2. Наивероятнейшее число успехов т* (т* — натуральное число) в серии из п независимых испытаний Бернулли с вероятностью р в одном испытании определяется соотношением

? Рассмотрим отношение биномиальных вероятностей ^{т +} ^.

Р"(т)

Для малых т (Р_п(т) растет) оно превышает единицу, для больших т СР_п(.т) убывает) отношение становится меньше единицы. Решая нера-

P"(m) P"(m +1).

венства —²->1 и —-<1, получим двойное неравенство тео-

P"(m-1) Р"(т).

ремы. Преобразуем дробь :

Р_п(т-1).

Получим неравенство.

Умножим обе части неравенства на mq:

Отсюда т (р + q) < пр + р, или т<�пр + р.

Аналогично второе неравенство приводится к виду пр — q < т.^- Замечание 3.3. Разность крайних значений в двойном неравенстве равна единице:

Отсюда следует, что если число пр - q дробное, то существует одно натуральное значение т*, если число пр - q целое, то существуют два натуральных значениях т при которых достигается максимальное значение биномиальной вероятности.

Пример 3.2. В результате каждого выстрела цель поражается с вероятностью 0,1. Найти наиболее вероятное число попаданий после 28 выстрелов.

Решение. При п = 28, р = 0,1, q = 0,9 неравенство для наиболее вероятного числа успехов принимает вид.

откуда 1,9 <�т‘< 2,9. Вероятнее всего два попадания.

Рассмотрим различные вариации, связанные с формулой Бернулли.

Полиномиальные испытания

Полиномиальные испытания являются расширением схемы Бернулли на случай большего числа различных возможных исходов. Многократное повторение испытаний назовем повторными независимыми полиномиальными испытаниями, если выполняются два условия:

• 1) результат каждого испытания — один из к возможных исходов, имеющих вероятности р_ь р₂, …, р_к;
• 2) результаты каждого следующего испытания не зависят от исходов предыдущих.

Теорема 3.3 (о полиномиальных испытаниях). Если проводится серия из п независимых полиномиальных испытаний с к различными исходами с вероятностями соответственно р_г, р₂, …, р_к, то вероятность того, что из п испытаний П] закончатся первым исходом, п₂ — вторым исходом и т. д., п_к закончатся k-м исходом, причем п_к + п₂ + + … + п_к = п, равна

? Пусть элементарное событие Л — появление 1-го исхода из возможных к различных исходов, элементарное событие В — 2-го исхода и т. д. Вероятность того, что в п испытаниях событие, А появилось раз, событие В — п₂ раз и т. д., по теореме умножения вероятностей равна р" ' р₂² ••?р'_к ? Число таких сложных событий совпадает с числом способов, которыми можно расставить в произвольном порядке rij событий А на п местах, п₂ событий В на п — местах и т. д., т. е. с числом пере-.

ni.

становок с повторениями: CjpCf? •••С" * _ =—-. Сумми-

1 1 - к-1 щп₂—-п_к

руя вероятности этих сложных событий, для полиномиальных испытаний получаем формулу вероятности. ?

Пример 3.3. Два шахматиста, А и В встречались за доской 50 раз, причем 15 раз выиграл А, 10 раз выиграл В, 25 партий закончились вничью. Найти вероятность того, что в матче из 10 партий между ними три партии выиграет А, две партии выиграет В, а пять партий закончатся вничью.

Решение. Рассмотрим матч из 10 партий как полиномиальные испытания.

15 10 25 «.

с тремя разными исходами, вероятности которых равны —, — и —. Вероятность шахматисту, А выиграть три партии из 10, шахматисту В — две партии.

10' ( 3 YY1W 1^|⁵

из 10, а пять партий свести вничью равна Р₁₀(3, 2, 5) = — l 1 — 1 1 — 1 =.

*0,085.