Реалистичная модель поведения индекса просрочек

Индекс просрочек (простой), по сути, является реализацией во времени вероятности дефолта (просрочки) во время «жизни» заданного винтажа, заданного набора кредитных продуктов, видов бизнес-решений и прочих заданных ограничений. Для получения конечного решения необходимо ограничиться упрощающими предположениями:

• 1) длина винтажа близка к нулю по сравнению со сроком наблюдений индекса просрочки;
• 2) вероятность выхода на просрочку уже учитывает вероятность погашения просрочки, т. е. структура переходной матрицы состояний просрочек не учитывается;
• 3) выход на просрочку является непрерывной величиной, т. е. пренебрегается квантовость дат обязательных платежей (как правило, ежемесячных погашений).

Погашение ссуды происходит аннуитетными платежами (равными долями) и непрерывно, как в предположении 3.

Не ограничивая общности, предположим, что в пуле ссуд выбранного винтажа было выдано средств — единица, плотность выдач в распределении по срокам Т обозначается р (Г), при этом J р(T)dT = 1 или, если набор о.

N

сроков ограничен числом N, ?р/ =1, где р, — концентрации (доли) выдач.

i=

на сроки (теноры) 7].

Поведение вероятности дефолта предельного (бесконечно малого) платежа в момент времени t (t > 0, t = 0 — начало «жизни» винтажа) задается следующей двухпараметрической моделью (рис. 6.9):

Рис. 6.9. Модель вероятности дефолта:

• —фактические значения вероятности дефолта;
• ———предельные значения, следующие из теоретической модели

Модель упрощенная, она утверждает, что вероятность дефолта платежа в момент времени t, имеет предельное значение р и «достигает» его за период, имеющий «типовой срок» — т, в начале срока она равна нулю. Это означает, что условный дефолт в момент времени t + At, при условии, что в момент t дефолта не было, наиболее вероятен в начале «жизни» и асимптотически спадает до нуля по мере роста t^{. Другими словами, на практике эго означает, что типичный заемщик имеет максимальную вероятность дефолта на начальном этапе «жизни»; если он платит на протяжении периода, сопоставимого с т, то дефолта, скорее всего, уже не будет.

Тогда доля просрочки единичной ссуды сроком Тза период (0, 7) равна.

Для модели (61) можно сделать преобразование и получить следующее выражение:

APD =.

Формула маргинального значения вероятности дефолта на период (t, t + At): PD) At.

-PD (t) '.

Учитывая распределенный по срокам Т харак тер выдач (в пуле ссуд на заданном винтаже) с плотностью р ('У'), общий уровень просрочек D{t) в момент t «жизни» винтажа будет вычисляться по формуле.

или, в предположении ограниченного набора N «теноров» (сроков выдач в винтаже) Т_ь i = 1,N, формула (62) будет представлена в виде суммирования с учетом долей р_; выдач по тенорам i:

функция min (?, 7}) в аргументе S означает, что если t>T_iy то просрочка по тенору Tj уже не растет (он выплачен, а оставшаяся постоянная часть остается в просрочке).

Имея измерения индекса просрочек Dj в моменты «жизни» винтажа tj, ] — 1, …, М становится возможным найти риск-характеристики поведения заемщиков (р,т), наиболее близко фитирующие индекс Dj функцией D_{p x}(t), т. е. минимизирующие расстояние.

в заданной норме — s (норма обычно выбирается «экспериментально», рекомендуется s=l).

Удобной единицей срока является год, tj=j/12, так как измерения индекса просрочек рекомендуется делать ежемесячно.

Контролировать качество «подгонки» можно стандартным показателем детерминации R²:

Рис. 6.10. Пример фитирования индекса просрочек для пула потребительского кредитования, винтаж (выдачи) 2013 г.:

——ИП;—оценка ИП Для примера на рис. 6.10 расчет параметров даетр = 100%, т = 11,5 лег, R² =0,97.