Эквивалентность ставок в схеме сложных процентов

Выше мы подробно остановились на классе инвестиционных процессов, описываемых непрерывной моделью накопительного счета в схеме сложных процентов. Каждый процесс из этого класса однозначно определяется начальным состоянием (Г₀, 5₀) и некоторой процентной (или учетной) ставкой, при этом динамика процесса описывается уравнением.

где а — нормированный (эффективный) коэффициент роста, соответствующий ставке, определяющей этот процесс, а v — a~^x — нормированный коэффициент дисконтирования. Выбирая конкретный вид ставки, мы получим конкретное представление динамики процесса в терминах выбранной ставки.

Каждая из перечисленных выше ставок определяет соответствующий процесс накопления (8.52). При этом вполне возможно, что ставки разного типа могут порождать идентичные процессы роста. Такие ставки мы будем называть эквивалентными.

Определение. Две процентные ставки называются эквивалентпыми_у если для любого начального состояния (t₀, S₀) процессы роста (8.52), порожденные этим состоянием и данными ставками, тождественны.

Отсюда следует, что ставки будут эквивалентными, если соответствующие коэффициенты роста совпадают. Эквивалентность ставок будем обозначать символом «-».

Заметим, что для нормированных эффективных ставок эквивалентность означает попросту их совпадение. Действительно, коэффициент роста а однозначно определяет соответствующую эффективную процентную ставку.

поэтому совпадение коэффициентов роста влечет совпадение соответствующих эффективных нормированных ставок.

Точно так же эквивалентность номинальных непрерывных (бесконечно-кратных) ставок означает их совпадение. В самом деле, равенства.

означают, что коэффициент роста позволяет однозначно определить номинальную непрерывно начисляемую ставку:

Поэтому совпадение коэффициентов роста означает совпадение соответствующих непрерывных (бесконечнократных) ставок.

Пример 11. Пусть /,=10% — месячная ставка начисления (1ц = 1/12), а /₂ =3,31% — квартальная (h₂ = ¼) ставка начисления. Являются ли эквивалентными эти ставки?

Решение. Эти ставки эквивалентны, поскольку.

Эффективная годовая ставка, эквивалентная этим ставкам начисления, равна 2,138, или 213,8%.

Пример 12. Показать, что годовая номинальная ставка =120% с ежемесячным (й,=1/12) начислением эквивалентна годовой номинальной ставке /₂^ =132,4% с ежеквартальным (/>,=¼) начислением.

Решение. В самом деле, эти ставки порождают месячную и квартальную.

ставки начисления, которые согласно предыдущему примеру эквивалентны.

Эквивалентность ставок позволяет однозначным образом выразить значение одной из эквивалентных ставок через другую. Так, из эквивалентности i_h[ и /_;,₂, равносильной равенству

получаем.

Задав ставку за единичный временной промежуток.

мы можем получить целое семейство ii_h эквивалентных ц ставок начисления для произвольных периодов начисления к

Действительно, если — нормированная ставка начисления, то (l + i, )^h есть коэффициент роста единичной суммы за период h (в непрерывной модели) и, следовательно,.

(¹+2,) -1 будет в точности ставкой за этот период, т. е. ставкой начисления.

Пример 13. Пусть i (¹²) = 12% есть номинальная годовая процентная ставка с ежемесячным начислением. Найти эффективную годовую ставку, эквивалентную этой ставке.

Решение. Эффективная годовая процентная ставка равна.

или 12,68%.