Краткие сведения из математического анализа и векторной алгебры

Функция и ее производная

Существуют физические величины, принимающие одни и те же постоянные значения независимо от условий решаемой задачи. Такие величины называют абсолютными постоянными. Существуют также другие величины, которые могут принимать различные численные значения. Такие величины называют переменными. Опыт показывает, что переменные физические величины изменяются не независимо друг от друга. При определенных условиях изменение численных значений одних величин влечет за собой изменение значений других.

Переменная у называется функцией от другой переменной х, если каждому значению х из некоторого множества по определенному закону ставится в соответствие одно (однозначная функция) или несколько значений (многозначная функция) переменной у. При этом переменная х называется независимой переменной, или аргументом. В этой главе будем рассматривать только однозначные функции. Функция может быть задана аналитически явным или неявным образом. Явное аналитическое задание функции осуществляется при помощи формулы.

где правая часть есть известное математическое выражение у (х), содержащее переменную величину х.

Уравнение

левая часть которого представляет собой некоторое математическое выражение, содержащее величины х и у, задает зависимость у от я неявно.

Если некоторая переменная, а принимает последовательно значения, все более и более близкие к числу а, то говорят, что, а стремится к а. Символически это обозначают так:

Переменная а называется бесконечно малой, если она стремится к нулю.

Пусть х и хч есть некоторые значения аргумента х. Соответствующие значения функции у = у (х) обозначают как.

Разность Ах = х^ — xi называется приращением аргумента, а разность, А у = t/2 ^— 2/1 ~ приращением функции.

Зафиксируем одно какое-нибудь значение аргумента и обозначим его х. Другое значение аргумента положим равным х + Ах. Иначе говоря, дадим аргументу приращение Ах. В этом случае приращение функции у = у (х) будет.

Производной функции у = у (х) в точке х называется предел отношения приращения, А у функции к приращению Ах аргумента при стремлении Ах к нулю. Производную функции у = у (х) обозначают символами.

По определению.

После вычисления предела получим некоторое математическое выражение, зависящее от х, но не зависящее от Ах. Таким образом, производная от функции у (х) по х в свою очередь будет функцией аргумента х.

Бесконечно малое приращение аргумента (Ах —? 0) обозначают символом dx и называют дифференциалом аргумента х. Дифференциалом функции у (х) называется главная (т.е. самая большая) линейная относительно Ах часть приращения функции, которую обозначают символом dy. На основании этого определения можно утверждать, что производную у' можно рассматривать как отношение (1.2) дифференциала dy функции к дифференциалу dx аргумента. При этом можно записать равенство

т.е. дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента.

Пример 1. Рассмотрим функцию у = х². Приращение (1.1) этой функции будет.

По определению часть этого выражения, содержащая приращение Ах в первой степени, есть дифференциал функции, т. е.

Подставив (1.5) в формулу (1.3), найдем производную:

Такой же результат получим, разделив дифференциал (1.6) на dx.

Пример 2. Пусть у (х) = с, где с = const. В этом случае Ау = 0 и у' = 0. Таким образом, доказано, что производная постоянной величины равна нулю.

Аналогично можно найти производные других элементарных функций. Приведем без вывода формулы для производных наиболее часто используемых функций:

где п — любое число;

где е = 2,718… — основание натурального логарифма;

Применяя определение производной, нетрудно доказать следующие правила вычисления производной.

Правило 1. Производная суммы функций и (х) и v (x) равна сумме производных этих функций:

Правило 2. Производная произведения двух функций и (х) и v (x) вычисляется по формуле.

Правило 2 имеет следующее следствие. Если одна из функций в этой формуле есть постоянная (например, и = с), то будем иметь.

т.е. постоянную можно выносить за знак производной.

Пусть z — z (y) и у = у (х). В этом случае зависимость z = z (x) называется сложной функцией переменной х, а величина у — промежуточной переменной. Сложную функцию можно записать в виде.

Правило 3. Производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной:

Совокупность операций, которые необходимо совершить, чтобы найти производную некоторой функции, называется дифференцированием этой функции.

Производная функции имеет геометрический смысл. Для того чтобы понять, в чем он заключается, рассмотрим кривую С на рис. 1.1, которая представляет собой график некоторой функции у = у (х). Точки М и N на графике соответствуют значениям аргумента х и х + Ах. Прямая, проходящая через две точки на кривой, называется ее секущей. Секущая MN наклонена к оси х под углом /?, тангенс которого равен.

Рис. 1.1. К определению геометрического смысла производной.

Пусть приращение аргумента Ах стремится к нулю, тогда точка N по кривой С стремится к точке М. Прямая, соответствующая предельному положению секущей при N —? М, называется касательной к кривой С в точке М. Обозначим через а угол между касательной и осью х. Если.

Ax —* 0, то 0 —? а и в силу определения производной (1.3) равенство (1.15) принимает вид.

Это равенство определяет геометрический смысл производной. Производная функции у (х) равна тангенсу угла, а наклона касательной к оси х.

Функция у (х) называется возрастающей на некотором промежутке оси х, если для любых двух значений х и х? аргумента, принадлежащих этому промежутку, таких, что х < хг, выполняется неравенство y (xi) < у (хг). Для возрастающей функции отношение, А у/Ах есть положительная величина. Предельный переход Ах —? 0 приводит к условию у¹ > 0. Таким образом доказано, что производная возрастающей функции положительна. Функция у (х) называется убывающей, если из неравенства xi у (хг). Нетрудно доказать, что производная убывающей функции отрицательна.

На рис. 1.2 изображен график некоторой функции у = у (х), точки Mi и Мг на котором называются точками максимума, а точка Л/з — точкой минимума. Эти точки иначе называются точками экстремума функции. Можно принять следующее определение экстремума функции. Функция у = у (х) достигает экстремума при х = хо, если существует окрестность этой точки (хо—А < х < хо+А) такая, что для всех значений х из этой окрестности приращение, А у = у (х) — у (хо) функции имеет один и тот же знак. А именно, функция у (х) имеет в точке хо максимум, если Ау 0.

Рис. 1.2. Экстремумы функции.

Если через точки М и Л/г провести касательные к кривой, то они будут горизонтальны, т. е. угол между каждой из них и осью х будет равен нулю. При этом в силу соотношения (1.16) производные функции в этих точках также будут равны нулю. Через точку Л/г касательную провести невозможно, и производная в этой точке не существует. Таким образом, можно утверждать, что в точках экстремума производная функции или равна нулю, или не существует. Это утверждение есть необходимое условие экстремума функции.

В результате дифференцирования функции у (х) получим другую функцию у'(х), т. е. производную от у по х, которую иначе называют первой производной. Эту функцию также можно продифференцировать по х. Производная функции у'(х) называется второй производной функции у (х), или производной второго порядка. Она обозначается так:

Последовательное n-кратное дифференцирование функции у (х) дает п-ю производную, или производную п-го порядка.