Динамика. 
Уравнения движения и энергии сплошной среды

Объемные и поверхностные силы. Тензор напряжений

В динамике сплошных сред рассматривают объемные F_v и поверхностные F_noe силы. В области течения V выделим малые контрольные объемы, А Г. На частицы, имеющие массу Ат = рА V, находящиеся в объеме AV, действует сила AF_v. Вектором плотности объемной силы называют выражение:

а вектором плотности массовой силы:

Таким образом, из сопоставления (1.1) и (1.2) следует связь плотности объемной силы, отнесенной к единице объема f_v и плотности массовой силы, отнесенной к единице массы f_m:

К силам, распределенным по объему, относятся силы тяжести, электромагнитные силы, действующие на заряженные частицы, движущиеся в электромагнитном поле, и др.

Поверхностными силами называют силы, которые приложены к частицам поверхности 5, ограничивающей объем V . Вектором напряжений, т. е. вектором плотности поверхностной силы, приложенной к малой площадке AS, имеющей внешнюю нормаль Я, называют.

где AF_noe — поверхностная сила, действующая на элементарную площадку AS.

Вектор Р_п зависит не только от координат и времени, но и от расположения площадки, которое определяется направлением нормали Я.

В области течения жидкости выделим малый контрольный объем (КО) AV в виде элементарного тетраэдра с высотой ON и площадью основания в виде треугольника АВС, имеющего объем AV = ^AS_abc — ON (рис. 1.1). Введем декартову систему координат (jcj,.^,.^) с координатами х = х_х, у = х₂,

Z = х₃.

Согласно принципу Даламбера, сумма всех внешних ак;

dv л г/.

тивных сил, действующих на тело, и сил инерции—рАУ

равна нулю в любой момент времени:

где Р_п, —Р_х = Р_п, —Р, = P_i2, —Ру = Pjз — векторы поверхностных сил, отнесенных к единице поверхности, действующие в площадках с нормалями Я, —Я, = /, — Я₂ = /₂ , — Я₃ = /₃,.

Рис. 1.1. Напряжения в 1ранях элементарного тетраэдра.

Устремим AF к нулю, так что высота ON ^ 0. В уравнении динамического равновесия (1.5) первое и последнее слагаемое имеют третий порядок малости, т. к. они пропорциональны AV и AS_abc-ON, а остальные слагаемые имеют второй порядок малости, т. к. они пропорциональны площади грани AS_ABC. Оставляя в уравнении (1.5) только слагаемые второго порядка малости, получим:

Проектируя грань АВС на координатные плоскости, можно записать:

Обозначив косинусы углов cos («, a:₁) = «_i, cos(п, х₂) = п₂, cos (/j, x₃) = /?з, из (1.6) и (1.7) получим равенство Коши:

Соотношение (1.8) определяет напряжение в площадке с нормалью Я через напряжение в площадках с нормалями Я,.

Я₂, «з •.

Уравнение (1.8) можно записать в проекциях на оси декартовой системы координат х₁, х₂, х₃:

В прямоугольных декартовых координатах (x, y, z) равенство Коши (1.8) записывают в виде:

В двойных подстрочных индексах равенств (1.9), (1.10) первый индекс обозначает координатную ось, к которой перпендикулярна рассматриваемая площадка, а второй индекс — ось, в направлении которой действует данное напряжение (рис. 1.2). Таким образом, а_х = /}, о =Р₂₂, о₂=Р_Ъ7> — нормальные напряжения в площадках с нормалями, направленными по осям х, у и z, а, например, г = Р_п — касательное напряжение в площадке с нормалью х, действующее в направлении оси у (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Нормальные o_v и касательные г_1Т, г, напряжения в площадке с нормалью по оси у.

Наличие линейной связи (1.9) между проекциями двух физических векторов Р_п и И позволяет ввести тензор второго ранга — тензор напряжений, компоненты которого представляют соответствующие нормальные и касательные напряжения Pj (/,/ = 1,2,3):

Равенству (1.9) соответствует умножение вектора п на тензор Р :

За величину давления Р в произвольной точке движущейся жидкости принимают среднее значение с обратным знаком нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку:

Касательные напряжения в линейной вязкой жидкости, следуя И. Ньютону, полагают пропорциональными произведению коэффициента динамической вязкости на скорость деформации скашивания соответствующего угла. Так, например:

где в _xv — скорость деформации скашивания прямого жидкого угла в проекциях на плоскость хОу. Из выражений вида (1.12) следует закон парности касательных напряжений:

Аналогично, доказываемое условие парности касательных напряжений в плоскостях xOz, yOz:

и, следовательно, тензор напряжений — симметричный тензор