Техника дифференцирования. 
Информационные технологии в юридической деятельности

Нахождение производной функции непосредственно по определению было бы трудоемким делом. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул. Установим правила, которые позволят значительно облегчить нашу задачу. Начнем с того, что выпишем таблицу производных основных элементарных функций (табл. 10.1).

Формулы дифференцирования. Каждая из приведенных в табл. 10.1 формул может быть получена из основного определения производной с приме;

Таблица 10.1

Таблица производных.

нением формул, известных из курса элементарной алгебры, и с учетом рассмотренных ранее пределов.

Представленные в таблице формулы позволяют продифференцировать основные элементарные функции. Для полноценного применения аппарата дифференциального исчисления необходимо уметь дифференцировать произвольные элементарные функции, получаемые из основных функций, как с помощью алгебраических операций, так и посредством суперпозиций элементарных функций, приводящих к сложным функциям (функциям от функций).

Правила дифференцирования. Пусть и = и (х), v = v (x) — дифференцируемые функции, с — константа. Тогда:

• 1) (си)' = с (и)' (постоянный множитель выносится за знак производной);
• 2) (и ± 1>)' = и' + v' (производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных);
• 3) (uv)' = u’v + ио';

Ги Y и’у — uv'.

^ [ц V²

5) если j"f₌ Д5' => у = /[ф (0] ⁼ Р (^х) (дифференцирование сложной функции).

Найдем производную F'(x):

Примеры.

Имеем.

2. Для функции у = sin²x.

После решения достаточного количества примеров на дифференцирование функции можно без особых усилий находить производные самых разнообразных функций.

Производная и дифференциал второго порядка. Поскольку производная у = f'(x) также является функцией, то можно поставить задачу ее дифференцирования.

Определение 10.23. Функция, которая получается в результате дифференцирования производной данной функции, называется производной второго порядка данной функции (или просто второй производной); она обозначается f" (x) или у" .

Другими словами, производная второго порядка получается двукратным (или повторным) дифференцированием функции.

Примеры Найти производные второго порядка следующих функций.

• 1. у = ах² + Ьх + 2; у' = 2ах + Ь у" = 2а.
• 2. у = sin²*; у' = 2sin*cos* = sin 2 т, у" = 2cos 2х.
• 3. у = sin*; у' = cos*; у" = -sin*.

Физический смысл производной второго порядка состоит в том, что она определяет скорость изменения скорости какого-либо процесса, т. е. определяет ускорение.

Аналогично определяется дифференциал второго порядка — это дифференциал от дифференциала первого порядка. Полагая, что в формуле дифференциала dy = f'(x)Ax приращение Ах постоянно, находим формулу для дифференциала второго порядка сРу