Частотные методы идентификации

Рассмотрим сначала линейную стационарную (т. е. с постоянными параметрами) систему с передаточной функцией W (р). Частотный метод идентификации такой системы состоит в том, что на ее вход подается гармонический сигнал вида i4sinu>? на различных частотах со, записывается сигнал на выходе AN (N (ш) и сдвигу фазы между входными и выходными сигналами) определяется амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики системы:

Характеристики | W (р) |^_в и arg W (р) _рш^ полностью определяют передаточную функцию системы W (р) [1].

Для дальнейшего изложения необходимо рассмотреть преобразования Лапласа и Фурье матрицы перехода стационарной и нестационарной систем.

Выше было показано (см. § 5.3), что решение однородного уравнения состояния стационарной системы.

при начальном условии х (t) |_/вт == х (т) имеет вид.

Положим т=0 и применим двухстороннее преобразование Лапласа 58. В результате получим.

или.

где X (р)=58 [х (*)]; р — комплексная переменная преобразования. Применяя обратное преобразование Лапласа, получим

Сравнение соотношений (6.6) и (6.7) приводит к следующему-выражению для матрицы перехода:

следовательно, изображение ее по Лапласу имеет вид.

Фундаментальное свойство линейных стационарных объектов состоит в том, что переходная матрица зависит только от «возраста системы» (t—x), поэтому в явной форме изображение (6.8) записывается как.

Однако для нестационарных систем это неверно, и переходная матрица должна записываться в общей форме К_x(t, х) (см. § 5.3, 5.4). По аналогии с преобразованием (6.9) при каждом фиксированном х можно определить преобразование Фурье для матрицы перехода.

причем верхний предел интегрирования можно заменить па /, поскольку К_х (*, т)=0 при х > t. Из равенства (6.10) видно, что матрицу Ф (*, /со) можно рассматривать как характеристику реакции системы на возмущение в виде показательной функции ехр[—/о) (t—x)].

В нормальной форме записи уравнений состояния нестационарной системы i=A (t) х (*)-{-В (0 ^u (0 выделим вектор свободных членов г (/)=В (г) и (t) и определим его преобразование Фурье:

Тогда в силу линейности системы и применимости к ней принципа суперпозиции для вектора состояния х (/) справедливо выражение.

Из онределения’матрпцы Ф (/, /ш)*следует, что она удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

которое можно рассматривать как интерпретацию в терминах переменных состояния уравнения Заде (2] для зависящих от времени частотных преобразований. В частности, для стационарной системы.

и из уравнения (6.11) следует ранее приведенное соотношение.

Рассмотрим схему идентификации, основанную па этом зависящем от времени преобразовании Заде, для нестационарной системы с одним выходом, описываемой уравнениями 13].

где у — скалярный выход, определяемый через известные матрицы С и D.

Предполагается, что, по крайней мере, первая компонента х_х вектора состояния может быть определена одновременно с наблюдением у. г-мерный вектор входа и имеет вид и^т= [и, р_х и,. . …, р;^_1ц], где р_х будет играть роль оператора дифференцирования dldt. Задана структура матриц A (f) и В (Q.

в которых элементы a_ni(t), t = 1, 2, …, п; b_nk(t), & = 1, 2, …, г являются искомыми функциями времени, причем среди них, например, S функций (S ^п—т) могут быть известны заранее.

Преобразование Фурье весовой матрицы К (t, т) для рассматриваемой системы.

и преобразование Фурье матрицы F (t, т) функций отклика системы на единичное ступенчатое возмущение.

связаны между собой известным соотношением где Т (/а)) = [t_ik (/(d)J — матрица с элементами.

причем ее определитель равен единице | Т (/to) | = 1.

Из равенства (6.13) вытекает характерное свойство элементов матрицы W (/, /id):

G другой стороны, согласно определению матрицы VV (/, /ш), можно записать.

где ф (Л /и) — матрица функций отклика системы на возмущение в виде показательной функции и = exp (/W) (гармоническое возмущение).

Соотношение (6.14) позволяет определить элементы матрицы W (t, /(d) при воздействии на объект гармоническими сигналами. Пусть и Wj— вещественная и мнимая части матрицы W (t, /<�о). Тогда, полагая ц = ехр (/и)*), на основании уравнения (6.12) будем иметь.

где G* и Gj — соответственно действительная и мнимая части матрицы G, которая имеет такую же конфигурацию, как и матрица A (J), а элементы {g^ (/со, *)} связаны с элементами {a_ni (?)} формулами.

причем а","1 (*) = —!•.

Вектор h (/, /со) определяется в соответствии со структурой вектора и^т=[и, р_хи, … fi-'u]:

Если величины У_Л, W/, р_хУд, p, Wy измерены экспериментально, то на основании (6.15) получаем два алгебраических уравнения для функций a_ni (t) и Ь_як (t). Измерение W на q частотах coj, о)₂, .со_? позволяет получить 2q таких уравнений, где-либо ^ = (¹/₂) (л г — s), либо q = (7_а) (п -|- г 1—5), в зависимости от того, какое из этих чисел окажется целым.

Исходя из удобства измерения, вводится матрица.

с учетом которой п-я компонента векторного уравнения (6.15) принимает вид.

где aj и Ъ^т_п — n-е строки матриц A (t) и В (t). Если ввести вектор X (/) искомых параметров.

то уравнение (6.16) можно представить в виде.

откуда, разделяя вещественные и мнимые части, будем иметь.

Наконец, записывая последнее равенство для каждой из q частот ю, (i=z 1, 2, q), получим окончательный набор расчет ных соотношений для определения вектора X:

откуда, обращая матрицу Q, находим искомые параметры в явном виде

Заметим, что выбором q и о>< всегда можно добиться, чтобы матрица Q была квадратной и невырожденной. Левый верхний индекс элементов матриц Q и ц соответствует конкретному значению частоты (например, */_я—/*(** 7 ,), ^<W⁷'=W^5r (7, ju>_t)). Элементы матриц Q и р легко определяются путем анализа экспериментальных функций отклика объекта па синусоидальный входной сигнал. При этом использование специальных вычислительных устройств позволяет полностью автоматизировать обработку информации, поступающей с объекта, который подвержеп тестовому гармоническому возмущению [3|.