Конечные деформации сплошной среды

Перейдем теперь к случаю, когда деформации уже не могут считаться малыми. Рассмотрим среду в недеформированном состоянии и выделим в ней точку М, положение которой определяется радиусом-вектором г, а также близкую к ней точку N, находящуюся на расстоянии dr от точки М (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Конечная деформация сплошной среды.

После деформации рассматриваемые точки сместятся и займут новые положения: М' и N'. Смещение характеризуется векторным полем смещений и (г), которое в малой окрестности точки М может быть описано с помощью тензора производной от вектора смещения по радиусу-вектору:

В деформированном состоянии расстояние между точками M’N' будет выражаться вектором dr', который, как явствует из рис. 2.3, представляется следующим образом:

Выясним, как изменилась вследствие деформации длина отрезка МN. Обозначим через ds и ds' соответственно его длину в исходном и деформированном состоянии. В матричном представлении.

или.

Производя перемножения матриц и приводя подобные члены, получим.

Применяя правила транспонирования произведения (ЛВ)^Т = = В^ГА^Т, представим выражение для деформации элемента в виде.

Деформация элемента представляется квадратичной формой от приращений координат, а ее коэффициенты образованы из элементов квадратной матрицы. Можно показать, что при переходе к новой системе координат элементы этой матрицы преобразуются по тензорному закону.^[1]

В теории упругости традиционно используется этот тензор с коэффициентом ½,.

и носит название тензора конечных деформаций Грина. В индексной форме он представляется как.

и выражает деформации через смещения. Здесь — координаты точек тела до деформации (лагранжевы координаты). Элемент длины в деформированном состоянии запишется с использованием правил суммирования в виде.

Необходимо сделать два замечания. Во-первых, вывод тензора конечных деформаций Грина был проведен в координатах, отвечающих лагранжевому подход}' к описанию смещений точек сплошной среды. Присутствующие при вычислении его компонентов производные вычисляются по лагранжевым координатам материальных точек, т. е. по недеформированной совокупности точек тела. Если рассматривать задачу о деформировании малого отрезка в координатах Эйлера (координаты материальных точек будут меняться в силу деформирования среды), то полученный таким образом тензор конечных деформаций примет вид.

Здесь дифференцирование осуществляется по координатам точек деформированной среды х, и присутствующие в этом выражении переменные являются переменными Эйлера. Этот тензор носит название тензора конечных деформаций Лльманси.

Второе замечание связано с тем, что в случае малых деформаций (а это характерно для многих задач теории упругости) квадратичные члены можно опустить. Тогда тензоры Грина и Альманси примут вид тензора малых деформаций и различие между подходами Эйлера и Лагранжа при описании малых деформаций сплошной среды исчезает. При таком предположении тензор конечных деформаций переходит в тензор малых деформаций и, кроме того, здесь уже нс будет отличия в его виде от того, по какой совокупности точек (Лагранжевой или Эйлеровой) производится дифференцирование.

• [1] Это нетрудно видеть, гак как составляющие эту матрицу матричные элементы являются тензорами, сумма и произведение тензоров сохраняет тензорныйхарактер объекта.