Оптимальные траектории. 
Макроэкономика. 
Часть 2

Рассмотрим следующую задачу оптимизации:

Здесь 0 <(3< 1, ограничения должны выполняться во все моменты времени t = 0,1,… Т, а горизонт планирования Тможет быть как конечным, так и бесконечным (Г-°°). Относительно функций м: М₊->Ки /: М₊ —>М₊ будем предполагать, что они:

• — непрерывны;
• — непрерывно дифференцируемы;
• — строго возрастают;
• — строго вогнуты;
• — удовлетворяют условиям Инады.

Кроме того, по умолчанию считается, что /(0)=0. Фактически, именно эта задача обычно фигурирует в модели Рамсея. Часто ее еще называют проблемой оптимального роста или проблемой центрального планировщика. При обсуждении этой задачи удобно апеллировать к ее экономическому смыслу. Поэтому мы будем интерпретировать и как функцию полезности, / как производственную функцию, величину c_t как потребление, а ?₍₊₁ как запас капитала в момент времени? + 1. В этом случае неравенства с, +k_l+i < f{k,) представляют собой бюджетные ограничения: нельзя потребить и запасти больше (единственного) продукта, чем произведено. Решение этой задачи, последовательность (с', /е,*_+] )j₌₀, мы будем называть оптимальной траекторией.

Конечный горизонт планирования

Рассмотрим задачу (В.1) на конечном горизонте планирования. Формально, при сделанных предположениях, она представляет собой конечномерную задачу выпуклого программирования. Необходимые и достаточные условия для ее решения выводятся из теоремы Куна — Таккера, и основную роль в этих условиях играют двойственные оценки ограничений (множители Лагранжа / Куна — Таккера).

Заметим, однако, что перед применением этой теоремы мы можем выявить некоторые свойства решения и тем самым упростить исходную задачу. Так, в силу того что полезность от потребления и строго возрастает, на оптимальной траектории все бюджетные ограничения будут выполняться как равенства. В самом деле, если с?+й?₊₁ </(&*), то можно так увеличить потребление с*, чтобы бюджетное ограничение не нарушилось, а полезность (значение целевой функции) при этом выросла. Значит, такое потребление c_t не может быть оптимальным.

Кроме того, из условий Инады для функции полезности (lim г/^/© = +°°) вытекает, что c_t = 0 никогда не может оыть оптимальным, так что на оптимальной траектории всегда с*>0. Тем самым условия неотрицательности с_г>0 можно игнорировать при решении. Мы заведомо знаем, что они не будут связывающими (англ, not binding), а соответствующие им множители Лагранжа будут равны нулю.

Теперь, помня о том, что /(0) = 0, нетрудно видеть, что /е*₊₁ >0, t = 0,1,…, Т — 1. Если бы в какой-то момент оказалось, что запас капитала равен нулю k*_t = 0, то в следующем периоде производство в экономике остановится, и, следовательно, с,₊₁ = 0. А это, как мы уже убедились, неоптимально. Таким образом, множители Лагранжа, соответствующие условиям &,₊₁>0 для? = 0,1,…, Г-1, тоже равны нулю. Однако, и это очень важно, мы не можем игнорировать условие неотрицательности kp₊₁ > 0, так как для него подобная логика уже не работает.

Введем теперь множители Лагранжа q_t, t = 0,1,…, Г для Т бюджетных ограничений c_t +^₊₁ < Пусть р_т — множитель Лагранжа для остающегося ограничения kp_+i >0. Функция Лагранжа (лагранжиан) для нашей задачи имеет следующий вид:

Условия Куна — Таккера записываются следующим образом:

Первые три условия представляют собой условия стационарности (условия первого порядка). Последние два условия известны как условия дополняющей нежесткости. Напомним, что они означают следующее: если множитель Лагранжа положителен (например, q_t >0), то соответствующее ограничение является связывающим (англ, binding), т. е. выполняется как равенство, f (k_t)-c_t -k_t+x =0. Если же ограничение выполнено как строгое неравенство, то соответствующий множитель Лагранжа равен нулю.

Заметив теперь, что ис) > 0 Vc, из (В.2) мы снова получаем q_t >0, а значит, из (В.5) вытекает, что бюджетные ограничения на оптимальной траектории действительно выполняются как равенства:

Тогда из (В.З) следует, что р_т > 0, и условие дополняющей нежесткости (В.6) означает, что.

Потребитель ничего не запасает в самый последний период, поскольку он уже не сможет получить от этого никакой полезности. Для него оптимально в последнем периоде своей жизни потребить все, что было произведено. Такое условие в конечномерной задаче кажется тривиальным, но данный вывод окажется полезным при формулировании аналога этого условия в бесконечномерной задаче (так называемого условия трансверсальности).

Из условия (В.З) мы получаем, что.

А записывая условия (В.2) для двух соседних моментов времени и деля одно из них на другое, получим.

Таким образом, исключая множители Лагранжа, мы приходим к набору соотношении.

Условие типа (В.9) в оптимизационных задачах, фактически являющееся условием первого порядка и связывающее два последовательных значения переменной управления, называется уравнением Эйлера. Чтобы прояснить экономический смысл уравнения Эйлера, перепишем его в виде.

В левой части стоит предельная полезность от потребления единицы продукта сегодня. В правой же части стоит предельная полезность от потребления завтра того, что можно было бы сегодня сберечь — множитель $u'(c_tM) показывает увеличение полезности в следующем периоде, a f'(k_t+1) представляет собой «доходность» сбереженной единицы продукта (на сколько единиц может вырасти потребление в следующем периоде благодаря производству). Таким образом, уравнение Эйлера можно интерпретировать как равенство предельных издержек и предельных выгод от сбережения единицы продукта между двумя соседними моментами времени.

Справедлив следующий результат (фактически, теорема Куна — Таккера для задачи (В.1) с конечным горизонтом планирования).

Утверждение В.1. Последовательность (с*_п k*_tMj[1₀ при заданном начальном значении k₀ =k_d является решением задачи (В.1) на конечном горизонте тогда и только тогда, когда выполняются условия (В.7)—(В.9).

Последовательность (с*, k*_t+{)J₌₀ содержит 2 Г + 2 неизвестных, и условия (В.7)—(В.9) представляют собой в точности 2Т + 2уравнений. Их можно записать в виде системы двух разностных (как правило, нелинейных) уравнений вида.

где вид функций Ф и Т определяется явным видом функций и /. В общем случае, семейство решений такой системы зависит от двух свободных параметров, но двух граничных условий (&₀ = &₀ и = 0) достаточно, чтобы получить единственное экономически осмысленное решение. При этом начальное значение капитала задано явно, а начальное значение потребления неявным образом получается из условия, что экономика, описываемая этой системой, должна в конечный момент времени удовлетворять условию ₊₁ = 0.

Бесконечный горизонт планирования

Рассмотрим теперь задачу (В.1) для случая Т=°°. Задачи на бесконечном горизонте планирования решаются тем же самым методом, что и конечномерные задачи, хотя при этом и возникают некоторые дополнительные тонкости. Однако для бесконечномерной задачи тоже можно выписать функцию Лагранжа и сформулировать необходимые и достаточные условия оптимальности.

По тем же причинам, что и в конечномерном случае, мы можем проигнорировать условия неотрицательности для c_t и k_t+x (теперь уже на всем бесконечном промежутке, поскольку здесь нет терминального времени Г, после которого сберегать уже заведомо не нужно). Введем опять множители Лагранжа (q_t)7=o Д^ля бюджетных ограничений c_t + &,₊₁ ^ /(&,). Функция Лагранжа для бесконечномерной задачи имеет следующий вид:

По аналогии с конечномерной задачей, выпишем условия Куна — Таккера, которые должны выполняться для всех t > 0:

Рассуждая так же, как и выше, мы получаем, что оптимальная траектория характеризуется выполнением бюджетных ограничений как равенств и условиями первого порядка (уравнением Эйлера):

Однако теперь этих условий недостаточно для решения исходной задачи. У нас по-прежнему есть граничное условие в начале, = k₀, но нет граничного условия на другом конце, потому что время в этой задаче не заканчивается. Можно сказать, что условия первого порядка определяют, что будет оптимально при движении от одного периода времени к следующему, но не могут охватить всю траекторию целиком. Для того чтобы определить оптимальную траекторию, нужно еще одно условие, которое было бы аналогом формулы (В.8) в конечномерном случае.

Вспомним, что на конечной траектории должно выполняться равенство (В.6), Pjk_T+x =0, которое говорит о том, что приведенная стоимость капитала (так как множитель Лагранжа имеет смысл теневой цены) в терминальный момент времени должна равняться нулю. Используя (В.4) и (В.2), это равенство можно переписать в виде.

Переходя в этом выражении к пределу при мы получаем нужное нам условие, которое носит название условия трансверсальности:

По смыслу это условие означает, что на оптимальной траектории нельзя слишком много сберегать. Если бы в пределе приведенная стоимость капитала была положительна, то это означало бы, что агент может уменьшить свои сбережения и, не нарушая бюджетных ограничений, потребить в какой-то момент больше, увеличив свою полезность (целевую функцию).

Можно показать, что для бесконечномерных задач условия первого порядка и условие трансверсальности всегда являются достаточными условиями оптимальности^[1]. При некоторых дополнительных условиях на функцию полезности (нужно, чтобы ее производная в нуле возрастала не слишком быстро), этот же набор условий является и необходимым для оптимальности^[2]. Эти дополнительные условия не выполняются только в специальных и очень редких случаях. Для всех экономически осмысленных проблем и «хороших» функций полезности — к таковым, в частности, относятся конечные в нуле функции (и (0) >-) и функции с постоянной эластичностью межвременного замещения (w© = (c^1_v-1)/(1-v), Ocv^l и w© = lnc) — необходимость тоже выполняется.

Таким образом, для подавляющего большинства бесконечномерных задач вида (В. 1), решение полностью задается условиями (В.13)—(В.15). Для таких задач, с «хорошими» функциями полезности, можно сформулировать следующее утверждение.

Предложение В.1. Последовательность (c_t, k'_t+[)T=Q при заданном начальном значении &₀ = k_d является решением задачи (В.1) на бесконечном горизонте тогда и только тогда, когда выполняются условия (В.13)—(В.15).

• [1] См., например: Lucas R. E.Jr., Stokey N. L., Prescott E. C. Recursive Methods in EconomicDynamics. Harvard University Press, 1989.
• [2] См: Ekeland /., Scheinkman J. Л. Transversality Conditions for Some Infinite HorizonDiscrete Time Optimization Problems // Mathematics of Operations Research. 1986. № 11 (2).P. 216−229.