Производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные высших порядков

Эм В том случае, когда частная производная — функции нескольких перемен;

дх,

ных и =/(дГ|, х₂,…"х,_и) существует в каждой точке области {Л/}, такая производная является функцией этих переменных в указанной области. Тогда по аналогии с определением 1 частных производных функции и (Л/) (см. п. 15.1.1) можно определить частную производную функции — по аргументу х_к в некоторой.

дх,

точке М области {Л/}. Такая частная производная называется второй частной производной, или частной производной второго порядка, функции и = /(*, х₂,…, х_т) в точке М сначала эта производная берется по аргументу х_р а затем — по аргументу х_к она обозначается одним из следующих символов:

При / Ф к частная производная (15.30) называется смешанной частной производной второго порядка.

После того как определено понятие частной производной второго порядка, можно последовательно ввести понятие частной производной третьего порядка, затем частной производной четвертого порядка и т. д. Пусть уже введено понятие (п — 1)-й частной производной функции и = /(*, х₂,…, х_т) по аргументам х,-, х,_г …, x_{iH f}, причем отдельные или даже все номера аргументов могут совпадать. Пусть эта (п — 1)-я производная имеет в точке М частную производную, тогда последняя называется п-й частной производной или частной производной /z-го порядка функции и =/(*, х₂, …" х_т) по аргументам х_/[У х, —₂,…" Такое понятие /;-й частной производной называется индуктивным, с переходом от первой частной производной к последующим. Таким образом, соотношение, определяющее л-ю частную производную, имеет следующий вид:

Если не все индексы аргументов, по которым берется частная производная (15.31), совпадают, то она называется смешанной частной производной л-го порядка. Поскольку частная производная функции по аргументу х. определяется как обыкновенная производная функции одной переменной х. при фиксированных значениях других переменных, то и частные производные высших порядков вычисляются уже известными приемами вычисления обыкновенных производных первого порядка.

Введем теперь понятие п раз дифференцируемой функции нескольких переменных.

Определение 9. Функция и =/(х, х₂, л:^) называется п раз дифференцируемой в точке Л/₀ (л,⁰, х₂, …" х°), если все частные производные данной функции (л — 1)-го порядка являются дифференцируемыми функциями в этой точке.

Справедливо следующее утверждение, вытекающее из определения дифференцируемости функции нескольких переменных и теоремы 15.3. Для того чтобы функция и = /(Л/) была п раз дифференцируемой в точке Л/₀ (х,°, х?, …, х^), достаточно, чтобы все частные производные //-го порядка этой функции были непрерывными функциями в точке Л/₀.

Найдем частные производные второго порядка для функции двух переменных.

Пример 15. и = х³ — ху² + х + у + у⁴. Последовательно дифференцируя, имеем: Пример 16. и = е^хcos 2у.

В рассмотренных примерах смешанные производные оказались равными друг другу, хотя это бывает не всегда. Ответ на вопрос о независимости смешанных вторых производных от порядка дифференцирования функции двух переменных дает следующая теорема.

Теорема 15.6. Если функция и = /(х, у) дважды дифференцируема в точке Л/(х, у), то ее смешанные производные в этой точке равны.

Доказательство. Поскольку данная функция дважды дифференцируема в точке М, се частные производные f*_x и f*_y определены в некоторой окрестности точки М и дифференцируемы в этой точке. Возьмем приращения аргументов Дх и Ду настолько малые, чтобы точка Л/, (х + Дх, у + Ду) находилась в указанной окрестности точки Л/. Рассмотрим выражение.

Если ввести вспомогательную функцию <�р (х) = /(х, у + Ду) -/(х, у), то выражение Ф будет являться приращением дифференцируемой на отрезке [х, х + Дх] функции одной переменной <�р (х):

Применяя теорему Лагранжа, получаем:

где 0 < а, < I. В свою очередь выражение в квадратных скобках можно рассматривать, как приращение на отрезке [у, у + Ду] дифференцируемой функции одной переменной у. Повторное применение теоремы Лагранжа по переменной у дает.

Введем другую вспомогательную функцию у (у) = /(х + Дх, у) -/(х, у); проводя по отношению к ней тс же операции, что и для функции <�р (х), получим:

где 0 < р, < 1, 0 < Р₂ < 1. Сравнивая (15,32) и (15.33), получаем:

Так как по условию теоремы обе смешанные частные производные непрерывны в точке А/, переходя к пределу в последнем равенстве при Дх —> 0 и Ду -" 0 (или что-то же самое при Л/, —> Л/), получаем утверждение теоремы:

Относительно смешанных частных производных л-го порядка функций нескольких переменных справедлива более общая теорема, которую мы приведем без доказательства.

Теорема 15.7. Если функция и — f{M) п раз дифференцируема в точке М (х, х₂, …" х_от), то значение любой смешанной производной л-го порядка в этой точке не зависит от порядка последовательных дифференцирований данной функции. ?