Д. З. Степени свободы системы

При решении задач о колебании конструкций кроме исходных данных, необходимых для расчета на статическую нагрузку, требуются сведения о массе конструкции. Вызвано это тем, что при колебаниях появляются так называемые даламберовы силы инерции (по имени французского механика Ж. Л. Даламбера), которые не являются физическими силами^[1] и определяются как произведение массы на вектор абсолютного ускорения с обратным знаком:

куда соответственно входит масса конструкции т.

Трудоемкость решения задач динамики зависит от числа степеней свободы. Числом степеней свободы называется количество независимых геометрических параметров, определяющих положение массы системы в любой момент времени. Масса вычисляется через вес конструкции по формуле (Д.З). Естественно, что вес конструкции, а равно и масса непрерывно распределены, но всей системе, т. е. в реальных системах масса является распределенной. Следовательно, для определения ее положения при колебаниях необходимо бесконечное число независимых геометрических параметров, или в таких случаях говорят, что система имеет бесконечное число степеней свободы. Расчет подобных систем — относительно сложный. Примеры расчета таких систем приведен в гл. 3 и 5.

Для практических целей часто достаточно учесть только несколько степеней свободы или даже одну. С этой целью распределенная масса заменяется сосредоточенными массами по правилу рычага или с помощью иного приема. Например, на рис. Д. 2, а показана консольная балка с равномерно распределенной массой. Массу можно полностью поместить на конце балки (рис. Д. 2, б) или, разделив балку на две равные части, приложить сосредоточенные массы в узлах (рис. Д. 2, в). Разумеется, возможны и другие варианты.

Рис. Д. 2. Замена распределенной массы сосредоточенными массами Положение одной массы в плоскости определяется тремя независимыми параметрами х, у, ф (рис. Д. З, а).

Если пренебречь вращением массы, то останутся два параметра х и у, которые определяют положение массы вследствие продольных и изгибных деформаций стержней.

Если пренебречь еще и продольными перемещениями, которые, как известно, значительно меньше перемещений за счет изгиба стержня, то останется один параметр у. Такая система будет иметь одну степень свободы (рис. Д. З, в).

Таким образом, число степеней свободы не является незыблемой характеристикой, как степень статической неопределимости, а зависит от желае;

Рис. Д.З. Пренебрежение поворотом и продольными перемещениями массы мой точности выполняемого расчета. В дальнейшем в расчетах пренебрегают поворотом массы и ее перемещением вследствие малости продольных деформаций по сравнению с перемещениями от изгиба. При этом, как и в методе перемещений, нс учитывается сближение концов стержня при его изгибе, а дуга траектории движения массы из-за малости перемещений, как обычно, заменяется касательной к ней. Указанные допущения распространяются и на колебание масс в пространстве. При определении числа степеней свободы не следует руководствоваться только количеством сосредоточенных масс. Часто число степеней свободы и количество масс не совпадают.

Пример Д. 1. На рис. Д. 4 приведены три системы. Первая система имеет две массы и две степени свободы (см. штриховые линейные связи), вторая тоже имеет две массы, а степень свободы — одну, так как перемещения двух масс, находящихся на балке с жесткостью, стремящейся к бесконечности, взаимно зависимы. Перемещение происходит по причине конечной жесткости пружины г.

Рис. Д. 4. Определение числа степеней свободы На третьей системе находятся тоже две массы, а степеней свободы три, потому что кроме двух независимых вертикальных перемещений массы еще могут совместно перемещаться в горизонтальном направлении за счет изгиба стоек.

Упражнение Д. 1. Определите число степеней свободы для расчетной схемы на рис. Д. 5.

Рис. Д. 5. Статически неопределимая система с тремя сосредоточенными массами.

Контрольные вопросы

• 1. Какая нагрузка называется динамической?
• 2. Чем определяется число степеней свободы?
• 3. Всегда ли совпадает число сосредоточенных масс и число степеней свободы?
• 4. Каковы особенности вибрационной нагрузки?

• [1] Ишлински А. /О. Классическая механика и силы инерции. М.: Наука, 1987.