Алгебраический метод. 
Геометрия: планиметрические задачи на построение

Если исходить из соотношений между искомыми и данными задачи, то условие задачи на построение может быть выражено аналитически.

Аналитическое выражение задачи на построение в виде уравнения, а его решения в виде корней этого уравнения помогают найти геометрическое решение, а также определить, с помощью каких инструментов оно может быть выполнено.

Решение задач алгебраическим методом сводится к построению:

• • среднего пропорционального двух данных отрезков х = 4аЬ
• • четвертого пропорционального к трем данным отрезкам, выра-

. «Ъс

жаемого формулой х = —;

а

• по алгебраической сумме данных отрезков x = a±b, x-a + b-c + d,

x = 3a±2b и т. д.; _.

• по формулам типа х = 1а + Ь .

Алгебраический метод решения геометрических задач на построение состоит в следующем:

• 1) неизвестные величины, фигурирующие в условии задачи, обозначают буквами х, у, z и т. д.;
• 2) составляют уравнения, связывающие эти неизвестные с данными в задаче величинами а, Ь, с, …;
• 3) решают составленные уравнения;
• 4) исследуют полученные ответы;
• 5) выполняют требуемое построение.

Прежде чем переходить к решению задач на построение алгебраическим методом, рассмотрим построения некоторых отрезков, заданных соотношениями между длинами других отрезков.

1. Иногда в геометрических задачах на построение отношение двух величин дается в виде а: b; а³: Ь³; а⁴: Ь⁴ и т. д.

Покажем, что любое из этих отношений можно заменить отношением двух отрезков.

Задача 6.47. Построить отрезок, заданный отношением а^п: Ь^п, где.

п е N.

пз.

Решение

Начертим две произвольные взаимно перпендикулярные прямые KL и MN (рис. 6.52) и обозначим буквой О точку их пересечения. На прямых KL и MN от точки О отложим отрезки ОА и ОА_х, соответственно равные данным отрезкам Ъ и а. Соединив точки, А и А_ь восставим в точке А_г перпендикуляр к АА_Х и продолжим его до пересечения с прямой KL в некоторой точке Л₂. В точке А₂ восставим перпендикуляр к А₂А₁ и продолжим его до пересечения с прямой MN в точке А₃ и т. д.

Определим величину каждого из следующих отношений: ОА_х: ОА; ОА₂: ОА_х; ОА₃: ОА_г и т. д.

Так как прямоугольные треугольники ОАА_х, ОА, А₂, ОА^А₃,… подобны, то, значит:

ОА, и ,.

По построению, —^L = —, а поэтому в силу равенств (*) получим ОА b

ОА.

Определим величину отношения Оно не изменится, если мы каждый из его членов разделим на одну и ту же величину ОА_ь а поэтому.

_{т т} ОА, а О Ап, а ОА₂ а ОА b

Но из равенств —- = — и —- = — усматриваем, что —- = — и-= —.

ОАЬОА_хЪ ОА, Ъ ОА, а

В силу последних двух равенств мы можем равенство (**) переписать так:

откуда.

ОА₂ _ а² ОА ~ Ъ²'.

Аналогичными рассуждениями найдем и другие отношения.

2. Рассмотрим задачу на построение среднего пропорционального двух данных отрезков, т. е. отрезка -Jab.

Задача 6.48. Построить среднее пропорциональное отрезков а и Ь. Решение

На одной прямой отложим последовательно отрезки АС = а и СВ = b (рис. 6.53).

Рис. 6.53.

На отрезке АВ как на диаметре построим окружность ofiC, 1.

В точке С восставим перпендикуляр к прямой АВ.

Имеем NC = -Jab. Действительно, AANB — прямоугольный.

NC СВ

По известной теореме AACN подобен ANCB, а значит,, откуда.

NC² = АС СВ, или в других обозначениях NC²=ab. Окончательно имеем NC—Jab.

3. При решении задач на построение очень часто приходится строить отрезок, который является четвертым пропорциональным трех заданных отрезков. Рассмотрим решение этой задачи.

Задача 6.49. Даны три отрезка а, Ь, с. Построить такой отрезок х,

а с что — = —.

Ъ х

Решение

Возьмем любой угол О. На одной стороне угла отложим отрезки ОА = а и ОС = с, а на другой — отрезок ОВ-b (рис. 6.54).

Через точку С проведем прямую р || АВ. Она пересечет луч ОВ в точке D. Докажем, что OD — искомый отрезок х. Треугольники ОАВ

и OCD подобны. Поэтому т. е. OD = х.

ОС OD

Рис. 6.54.

В частном случае эта задача позволяет разделить отрезок на п равных частей. Обозначим данный отрезок через Ь. Возьмем любой отрезок с, и пусть а — пс (рис. 6.55).

Рис. 6.55.

" ас b Ъ 1 .

Поскольку — = —, то х = — с = — с = — Ъ. ох, а пс п

4. Рассмотрим более сложное отношение отрезков.

Задача 6.50. Построить отрезок, заданный отношением ²[а : ²/b, где п е N.

Решение

Допустим, что отношение величин задано в виде [а: -Jb, где а и Ъ — данные отрезки.

Для определения тех двух отрезков, отношение которых равно Va: Vb, поступим следующим образом.

На произвольной прямой от выбранной точки К отложим последовательно два отрезка: KN-а иNM = b (рис. 6.56).

Рис. 6.56.

На отрезке КМ, как на диаметре, построим полуокружность КРМ.

В точке N восставим перпендикуляр NN' к отрезку КМ. Прямая NN' пересекает дугу КРМ в некоторой точке L.

Соединяем точку ЬсКиМ. Отрезки KL и LM — искомые, т. е.

LM yjb

KN LN²

Действительно, имеем-=-—. Но AKLM подобен ALMN, а по;

NM NM²

KL LN KL² LN²

этому-=-и, значит, -=—, но из последнего равенства.

LM NM LM NM²

KN LN² KL² KN «.

и равенства-=— вытекает, что— =-. Извлекая квадратный.

NM NM² LM² NM

корень из обеих частей последнего равенства, найдем:

Чтобы получить два отрезка, отношение которых равно [а: yfb, необходимо сначала построить такие два отрезка тип, отношение кото;

т [а

рых определяется равенством — = —j=, а затем посредством такого же.

п sjb

построения найти отрезки р и q, которые определяются равенством р _ yfm Ч Vn.

Аналогичными построениями можно найти отрезки, отношение которых равно ²fa: ²y[b, где а и Ъ — данные отрезки, а п е N.

При построении отрезков, заданных формулами, следует иметь в виду, что должны рассматриваться лишь «правильные по размерности» формулы, иначе говоря, нельзя строить отрезки, заданные, например, такими формулами: х = а + Ьс, х = а², х = [а и т. д.

Решим алгебраическим методом несколько задач на построение. Задача 6.51. По данной сумме (s) и разности (d) двух отрезков найти эти отрезки.

Решение

Анализ. Обозначив искомые отрезки буквами х, у, можем написать такие уравнения: x + y = snx-y = d. Сложив почленно эти равенства, получим 2х = s + d, откуда х = — (s + d). Определив х, можно при помощи одного из составленных уравнений найти у.

Построение. 1. Строим отрезок АВ, равный сумме отрезков s и d.

• 2. Делим пополам найденный отрезок АВ и получаем отрезок х.
• 3. Из отрезка, равного s, отнимаем найденный отрезокх, и полученная разность представит собой искомый отрезок у.

Доказательство. Несложное.

Исследование. Задача возможна при всех конечных значениях отрезков 5 и d.

Задача 6.52. Построить отрезок х, который относился бы к данному отрезку т как а²: Ъ² (а и b — данные отрезки прямой).

Решение

Анализ. Нам надо определитьх из следующей пропорции: х:т = а²:Ь².

Можно этой пропорции придать такой вид: Ь:а = а: — | и определю,¹

Ьх

лить отрезок — известным построением как четвертый пропорцио- т

нальный.

_т, «Ьх Ьх

Когда найдем, что — равняется некоторому отрезку s, т. е. — = s, то т т

сможем написать такую пропорцию: b: s = т: х и известным построением определить х.

Задача 6.53. Построить отрезок, определяемый формулой х =-.

de

Решение

Анализ. Изх = имеем: | — |:c = a: d.

de J

Отрезок j можем построить как четвертый пропорциональный к трем данным с, а и d.

Х6

Допустим, мы нашли, что — = т.

Ъ

Тогда, очевидно, имеем х: Ъ = т: е, и известным построением находим х как четвертый пропорциональный к трем данным Ь, т не.

Задача 6.54. Построить круг, равновеликий данному круговому кольцу.

Решение

Анализ. Если буквами Я и г обозначим радиусы внешней и внутренней окружности кольца (рис. 6.57), а буквойх—радиус искомого круга, то получим следующее уравнение: пК² — пг² = лх², откуда R² — г² = х², т. е.

и, следовательно, х = 7(Я + г)(Я-г).

Рис. 6.57.

При помощи этой формулы можем известным построением найти длину отрезка х.

Построение (рис. 6.58). 1. На произвольной прямой KL отмечаем какую-нибудь точку А.

Рис 6.58.

• 2. На полупрямой AL от точки, А отложим отрезок АВ, равный сумме отрезков Я и г.
• 3. На полупрямой BL от точки В отложим отрезок ВС, равный разности отрезков Я и г.
• 4. На отрезке АС, как на диаметре, строим полуокружность АС.
• 5. В точке В восставим перпендикуляр к прямой АС; он пересечет полуокружность в некоторой точке D.

Отрезок BD представляет собой радиус искомого круга, площадь которого равна данному круговому кольцу.

Доказательство. Соединив точку D с концами диаметра АС, получим прямоугольный треугольник, в котором BD есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. Отсюда следует, что квадрат отрезка BD равен произведению отрезков АВ и ВС, т. е. BD²- (Я + г)(Я — г), что и подтверждает правильность выполненного построения.

Исследование. Задача всегда имеет решение. Действительно, если дано круговое кольцо, то, значит, радиусы как внешней, так и внутренней окружностей представляют собой два конечных отрезка и потому можно известным построением определить отрезок, квадрат которого равен их произведению.

Задача 6.55. Дан ААВС. Провести прямую, параллельную его основанию и делящую пополам его площадь.

Решение

Анализ. Пусть ААВС — данный треугольник (рис. 6.59). Предположим, что PQ — искомая прямая. Тогда в силу подобия APAQ и ABAC

Sabc АВ² 2 АВ имеем = —- = —, откуда АР = —j=.

Sapq АР 1 v 2.

Это соотношение дает нам очень простое построение.

Построение. 1. Делим отрезок АВ пополам (точка М).

• 2. Строим прямоугольный равнобедренный AAMN {ZAMN = 90°).
• 3. Гипотенуза AN AAMN и даст искомый отрезок: AN = IMN² + МА² = АВ

Рис. 6.59

• 4. Откладываем от точки А отрезок АР = AN.
• 5. Проводим PQ || ВС.

Доказательство правильности описанного построения в обратном порядке повторяет рассуждения, проведенные в анализе.

Исследование тоже не представляет труда: решение, очевидно, всегда имеется, и притом единственное.

Задача 6.56. Построить равнобедренный треугольник по двум его неравным высотам.

Решение

Рис. 6.60.

Анализ. Пусть ДАВС — искомый и BD — h_b, АЕ = h_a — его высоты (рис. 6.60); треугольник можно построить, если будет известна одна из его сторон. Положим DC = х. Имеем ADBC ~ ААЕС (как прямоугольные треугольники с общим острым углом С). Из подобия треугольников получаем Так как ВС = у]х² + h_h², то из равенства (*) получим.

отсюда.

Построение. 1. Строим отрезок у = yj{2h_b)² -h_a² (рис. 6.61).

Рис. 6.61.

2. Строим х = ^^- (рис. 6.62).

У

Рис. 6.62.

3. Наконец, строим искомый равнобедренный треугольник АВС по основанию АС =2хи высоте DB = h_b (рис. 6.63).

Рис. 6.63.

Доказательство. Нужно доказать, что в построенном равнобедренном треугольнике АВС высоты BDh_b и АЕh_a. Первое равенство очевидно, а справедливость второго вытекает из обратимости всех формул, приведенных в анализе. _.

Исследование. Замечаем, что отрезок у = yl (.2h_b)² -h² можно построить лишь в том случае, если (2/i_b)² -h_a² >0, или 2h_b >h_a.

При этом условии можно построить отрезок х и, следовательно, искомый треугольник АВС. Так как два равнобедренных треугольника, имеющих равные основания и равные высоты, равны, то задача имеет единственное решение.

Замечание. Задача допускает более простое решение другим способом. Если через точку D провести прямую, параллельную высоте АЕ и пересекающую сторону ВС в точке F, то треугольник DFB можно построить по катету 0,5h_a и гипотенузе h_b, что приведет к построению искомого треугольника.

Задача 6.57. Через данную вне круга точку А провести такую секущую, которая разделилась бы этой окружностью в данном отношении.

Решение

Анализ. Допустим, что задача решена: секущая AL удовлетворяет условию задачи (рис. 6.64). Проведем из точки, А секущую АС, проходящую через центр О данного круга. Так как точка, А нам дана, то, значит, нам известны отрезки AD и АС. Обозначим буквой х длину отрезка АК. Если из точки А, находящейся вне круга, проведем секущие, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть есть величина постоянная, а потому.

Рис. 6.64.

Из чертежа усматриваем, что AL = х + LK.

л шс. пх

А так как по условию х: LK = m: п, т. е. ЬК = —, то, значит, AL = x + — ;

т т

= —(т + п). т

х

Поэтому равенство (*) примет такой вид: х—(m + п) = AD? АС, откуда.

т

Построение. 1. Исходя из формулы (**) известным построением определим отрезок х.

• 2. Из точки А делаем на данной окружности засечку К радиусом, равным найденному х.
• 3. Соединив точки А и К и продолжив эту прямую, получим искомую секущую.

Заметим, что мы не привели рассуждения, которые имеют место к решению этой задачи на этапах доказательства и исследования (предоставляем читателю провести эти этапы самостоятельно).

Задача 6.58. Найти вне данного круга такую точку, чтобы касательная, проведенная из нее к этой окружности, была вдвое меньше секущей, проведенной из той же точки через центр.

Решение

Анализ (рис. 6.65). Обозначим буквой х расстояние до искомой точки от центра О окружности. Как известно, АВ²-DA? АС (1), но DA = х — г (2), АС = х + г (3) и, значит, АВ² = (х — г) (х + г) = х² — г² и АВ = 1х²-г² (4).

Рис. 6.65.

Так как по условию АС = 2АВ, то из формул (3) и (4) имеем х + г — = 21х²-г², откуда х² + 2гх + г² = 4х² — 4г², или Зх² — 2гх — 5г² = 0. Следовательно,.

т.е. х_а = — г и х₂ =—г.

В данной задаче х не может быть отрицательной величиной, а потому второй корень отбрасываем.

Построение. Продолжим один из диаметров (CD) данной окружности.

и на нем отложим от точки D отрезок DA, равный —г (DA = АО — OD = 5 2 3.

= —г — г = —г (6)).

3 3.

Точка А — искомая.

5 8.

Доказательство. АС = х + г =—г + г, т. е. АС =—г (7).

.- /2 8 4 АС

Из формул (1), (6), (7) находим: AB = y/DA-AC = J—r-—r=—r =

что подтверждает правильность сделанного построения (этап исследования предлагаем читателю провести самостоятельно).