Фазовый портрет для математического маятника

Рассмотрим систему

получающуюся из уравнения колебаний математического маятника х + sinT = 0 введением переменной у = х. Уравнение фазовых траекторий имеет вид

это уравнение с разделяющимися переменными, и его решения определяются формулой

Для того, чтобы построить фазовый портрет, необходимо взять семейство графиков функций у = 2(cosх + С), которое строится из графика функции у = cos ж элементарными преобразованиями, и извлечь корень из «положительной⁴¹ (находящейся выше оси абсцисс) части каждого графика³. В результате получается портрет, представленный на рис. 23.1. Видны система замкнутых траекторий (циклов)⁴, окружающих положения равновесия и система незамкнутых траекторий^. Точки соответствуют значению С = — 1, циклы значениям — 1 < С < 1, незамкнутые траектории значениям С > 1. Значению С = 1 отвечает пара неограниченных кривых, пересекающихся друг' с другом на оси абсцисс при х = п + 2пк, внешний вид которых обманчив: на самом деле они имеют довольно сложную структуру, но это мы обсудим чуть позже.

Здесь следует отметить, что на самом деле один и тот же фазовый портрет соответствует многим системам. Так, уравнение фазовых траекторий системы.

такое же, как и уравнение фазовых траекторий системы (23.1). Отличие состоит только в скорости, темпе прохождения траекторий. Поэтому для тог о, чтобы однозначно идентифицировать систему по фазовому.

^Извлечение корня из графика функции достаточно несложная операция: в силу монотонности корня промежутки возрастания остаются промежутками возрастания, промежутки убывания промежутками убывания, экстремумы экстремумами. Единственное, о чем нужно помнить, что корень извлекается только из «положительной» части графика и что полученный результат надо отобразить симметрично и в нижнюю полуплоскость (поскольку нам же надо нарисовать у = ±^/2(cos.e + С)). Правда, есть еще тонкость, связанная с извлечением корня вблизи нуля функции. Если график функции пересекает ось абсцисс (функция имеет ненулевую производную) в точке х', то вблизи этой точки f (x) ~ к (х—х*) (к это как раз и есть производная), ^а //(ж) ~ '/кл/х — X" эта функция уже не пересекает ось абсцисс, а «втыкается» в нее (функция имеет бесконечную производную). Это. кстати, приводит к тому, что график корня из функции в нижней полуплоскости склеивается с графиком корня в верхней полуплоскости гладко, без углов. Если же исходная функция касается оси абсцисс, то в случае наличия второй производной в окрестности точки касания х* сама функция f (x) ~ к (х — х*)², а корень из нее, соответственно, f (x) ~ /кх — х*. График такой функции пересекает ось абсцисс под ненулевым углом. В нашем случае это происходит при С = 1.

'Так называемые либрациопныа диижкпия.

' Гак называемые ротационные, движения.

Рис. 23.1: Фазовый портрет для уравнения математического маятника.

портрету, надо в каждой точке каждой траектории еще пририсовать вектор скорости (или хотя бы указать его величину и направление). Обычно используют «промежуточный¹¹ вариант, более компактный, но достаточно информативный: вместо того, чтобы в каждой точке рисовать вектор скорости, на самой траектории стрелочкой обозначают направление движения по этой траектории. Направление движения определяют по тому, куда направлен вектор скорости. Правда, обычно для этого достаточно вычислить лишь одну компоненту (например, т). Поскольку, в силу пашей системы, х = у, при у > 0 получаем х > 0 значит, x (t) с течением времени возрастает и движение происходит слева направо. Соответственно в нижней полуплоскости х = у < 0 и движение происходит справа налево.

На фазовой плоскости явственно видны отдельные точки: (2тгп, 0), которые оказываются как бы «сами по себе¹¹ они не лежат ни на одной из кривых. Это положения равновесия системы. Если мы подставим эти значения в систему, то увидим, что в этих точках х = у = 0, а поэтому и двигаться из них никуда не надо. Положения равновесия соответствуют стационарным решениям: когда x (t) и y (t) являются константами. Нетрудно проверить, что в общем случае постоянными решениями системы (23.1) являются те и только те, которые обращают обе правые части в нуль.

Определение 23.4 Особыми, точками^[1] системы (23.1) называются точки (х, у), для которых правые части системы обращаются в нуль: f{x, у) = д{х, у) = 0.

Таким образом, нее оказалось более чем естественно: если решение постоянное, то траектория одна точка. Как раз такие решения и соответствуют точкам (2тгп, 0).

Как видно, вот эти особые точки окружены замкнутыми траекториями, отвечающими периодическим решениям. Найдем период для этих траекторий. Удобно «нумеровать*¹ их максимальным значением абсциссы, которое бы обозначим через xq, тогда С = — cos xq. уравнение траектории имеет вид

а поскольку из первою уравнения системы х = у. получаем, что связь между t их описывается формулой.

В силу симметрии фазового портрета нам удобно посчитать лишь четверть периода когда х меняется от Хо до нуля:

Замена? = sin (x/2) (с переобозначением? о = sin (®o/2)) приводит этот интеграл к виду

Интеграл этот несобственный (на правом конце промежутка интегрирования), но сходящийся. Однако, к сожалению, в элементарных функциях он не выражается это так называемый эллиптический интеграл^[2]. Тем более не выражается в элементарных функциях и зависимость x (t): функция, обратная к эллиптическому интегралу, называется эллиптической функцией, она относится к довольно обширному классу специальных функций^[3] функций, достаточно часто возникающих при решении дифференциальных уравнений, но не выражающихся в элементарных функциях.

Таким образом, хотя решение нашей системы в элементарных функциях не выражается, мы все-таки умудрились в помощью фазовой плоскости достаточно детально разобраться в ее поведении.

Еще один интересный момент: период можно точно посчитать при С = 1 (поскольку под корнем оказывается просто квадрат косинуса половинного угла), но этот период оказывается … бесконечным: интеграл расходится! Как это понимать и не вкралась ли тут ошибка? Ошибки нет. Дело в том, что при С = 1 решение уже; не является периодическим (хотя визуально ясно видна замкнутая траектория это все-таки обман зрения). Экстремальная точка xq = я достигается за бесконечное время. Это один из интересных фокусов фазовой плоскости. Дело в том, что точки (7Г + 27ГП, 0), так же, как и точки (27гв, 0). являются особыми, это такие же положения равновесия (правда, неустойчивого, но об этом мы будем говорить позже), и из них ничего не выходит и в них ничего не входит. Удаление этих точек из картинки приводит к тому, что замкнутые вроде бы кривые распадаются на отдельные фраг менты. Каждый из этих фрагментов на самом деле и является отдельной фазовой траекторией, проходимой за весь промежуток времени t € (—ос,+ос). Эти траектории, начинающиеся и заканчивающиеся на особых точках, называют сепаратрисам, и^[4]. Механическая интерггретация особых точек.

(тг + 2тгп, 0) очевидна: это положения маятника, когда он стоит вертикально вверх. А сепаратрисы соответствуют очень специфическим движениям когда маятник, поднимаясь к верхней точке, никогда не достигает ее. но и никогда не останавливается^[5].

• [1] вНазьшаемые также точками покоя, или стационарными точками. Первый издвух приведенных терминов имеет происхождение из механики: этим точкам соответ-ствуют решения, которые описывают механическую систему, находящуюся в одномиз возможных состояний покоя. Второй происходи! из техники: стационарным режимом называется ситуация, когда техническое устройство работает без измененияего параметров. Термин же «особые точки** произошел из теории уравнений первогопорядка: если уравнение имеет вид с непрерывно дифференцируемыми функциями в числителе и знаменателе правойчасти, то при f (x, y) ф 0 мы оказываемся и условиях теоремы существования иединственности, при f (x, y) = 0. но д (х, у) ф 0 тоже (только надо поменять ролями переменные X и у и перейти к уравнению dx/dy = /(#, у)/д (х, у)), а вот когдаи числитель, и знаменатель обращаются в нуль вот тут-то все и начинается. Вэтих точках не то что просто условия теоремы не выполняются там само свойствосуществования и единственности по существу исчезает. Через такие точки можетпроходить как угодно много интегральных кривых. А может ни одной. Поведениетраекторий системы (23.1) вблизи особых точек мы будем изучать отдельно в главе24.
• [2] Термин «эллиптический» связан с тем, что этот интег рал возникает в задаче овычислении длины дуги эллипса.
• [3] Некоторые авторы к специальным функциям относят и такие функции, как sin ж, cos х и экспоненту. Действительно, ведь, например, тригонометрические функции невыражаются через «самые элементарные» функции многочлены, но регулярно возникают в геометрических соотношениях. Поэтому мы обозначили эти зависимостичерез sin® и cos ж, исследовали их структуру (вы это проходили еше в школе), итеперь пользуемся ими точно так же, как и полиномами. Для специалистов, но уравнениям математической физики специальные функции (к которым, помимо эллиптических функций Якоби, функций Бесселя решений уравнения Бесселя относитсяеще много других функций) такой же привычный класс, как дли вас синусы, косинусы и экспоненты.
• [4] ''От английского «separate» «разделять». Сепаратрисы разделяют части плоскости, в каждой из которых фазовые кривые имеют свой характер поведения: в нашемслучае это части плоскости, где фазовые кривые замкнуты, и части плоскости, гдефазовые кривые незамкнуты.
• [5] Конечно, для того, чтобы ясно себе представить этот процесс, нужно опреде-лепное усилие воображения, но тут ничего не поделаешь: истинно математическоевоображение как раз и требуется в различных предельных, пограничных случаях.