Теория портфеля: общий случай

Рассмотрим модели инвестиционного портфеля с произвольным количеством видов акций.

Модель 1. Рассматривается задача минимизации риска портфеля (s²) без учета его доходности. Ограничения на компоненты портфеля имеют вид.

Данная задача квадратичного программирования имеет два вида решений: внутреннее и угловое. Для углового решения хотя бы одно неравенство превращается в равенство, а для внутреннего решения все неравенства строгие. На практике обычно реализуется внутреннее решение, представляющее собой решение задачи минимизации функции риска s² при условии равенства единице суммы компонент портфеля. Функция Лагранжа имеет вид:

где X — множитель Лагранжа.

Приравняв нулю ее частные производные, получим систему линейных уравнений в матричном виде: А X = В. Она имеет т + 1 неизвестных — компонентов искомого оптимального решения:

Матрица А является блочной, ее блок размерности т х т является симметричной матрицей, у которой на главной диагонали расположены риски (дисперсии доходности) акций, а вне ее — ковариации. Для выяснения смысла переменной х₄ (в общем случае — х_гп+1) умножим первое уравнение системы на х_{, второе — на х₂, третье — на лг₃, затем полученные равенства сложим. Отсюда х_А равно минимальному риску портфеля, поэтому:

Обозначим: С = А~^{, тогда Х=С? В. Учитывая вид вектора В, заключаем, что координаты оптимального портфеля и его риск образуют последний столбец матрицы С:

Пример Доходности акций первого вида — 4,3,4,5; второго — 5,5,4,2; третьего — 2,1,5,4. Тогда дисперсии (риски) равны 0,5; 1,5 и 2,5, ковариация доходностей акций первого и второго видов равна -0,75 и т. д.:

Решим систему уравнений с помощью функций МОБР и МУМНОЖ программы Excel (табл. 3.5).

Расчет оптимального портфеля: доходность не задана.

Таблица 3.5

Оптимальный портфель — (0,627; 0,360; 0,013), его риск равен 0,053, что существенно меньше риска наименее рискованных акций: 0,053 < 0,5, его доходность равна 3,987.

Модель 2. Рассматривается задача минимизации риска портфеля с требуемой доходностью R₀. Тогда функция Лагранжа принимает вид:

где р. — второй множитель Лагранжа.

Приравняв нулю ее частные производные, получим систему уравнений А-Х = Вст + 2 неизвестными:

Умножим первое уравнение на х_х, второе — на х₂, третье — на х₃, затем равенства сложим, отсюда минимальный риск портфеля равен:

Обозначим С- Л" ¹, тогдаХ= С В. Учитывая вид вектора В, заключаем, что компоненты оптимального портфеля равны:

Пример Используя данные из примера к модели 1, определим оптимальный портфель, если требуемая доходность равна 3,9%. Дополним А пятой строкой (4; 4; 3; 0; 0) и пятым столбцом (-2; -2; -1,5; 0; 0). Вектор В = (0; 0; 0; 1; 3,9). Обратим матрицу А (табл. 3.6).

Таблица 3.6

Расчет оптимального портфеля: доходность задана.

Оптимальная доля акций первого вида равная = -4,21 439 + 3,9 • 1,214 286 = 0,521, аналогично: х₂ = 0,379; х₃ = 0,1; х₄ = 0,516; х₅ = -0,232. Риск портфеля: s²_min = 0,516 + + 0,5 • 3,9 • (-0,232) = 0,064. Итак, требование обеспечить заданную доходность привело к увеличению риска портфеля с 0,053 до 0,064, при этом доля акций первого вида снизилась с 62,7% до 52,1%.

В обеих моделях задача оптимизации обычно не имеет внутреннего решения, если дисперсия доходности (риск) неких акций меньше, чем ковариация их доходности с каким-либо другим видом акций. В этом случае пару акций с высокой корреляцией рассматривают как один вид акций и перед выполнением алгоритма оптимизации исключают из рассмотрения один из видов акций, и тогда в первом блоке А каждый диагональный элемент (риск) будет максимальным в своей строке и своем столбце. Отрицательные значения ковариации, превышающие по модулю дисперсию, не исключаются, а приветствуются, поскольку позволяют существенно снизить риск портфеля.