Интеграл Коши. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Формула Коши.

Пусть G есть односвязная область, ограниченная произвольной кусочно-гладкой линией Г, и f (z) — функция, аналитическая в замкнутой области G. Это значит, что функция f (z) имеет определённую конечную производную в каждой точке некоторой области G', содержащей G. Формула Коши, к выводу которой мы сейчас перейдём, выражает значение функции f (z) во всякой точке, внутренней к линии Г, через значения этой функции на контуре Г. Отсюда вытекает, что значения аналитической функции тесно связаны между собой, так как её значения вдоль замкнутого контура Г вполне определяют её значения внутри Г. Эта формула Коши имеет вид:

где z — любая точка внутри Г, и интегрирование совершается, но контуру Г в положительном направлении.

Для доказательства, обозначив через z произвольную точку области О, рассмотрим функцию:

Эта функция ср (ч) есть аналитическая во всех точках замкнутой области G, кроме точки C = Описывая около точки z, как центра,.

Фиг. 80.

окружность у произвольно малого радиуса р, целиком лежащую в области О, мы видим, что <�р© будет аналитической функцией во всех точках, лежащих между контурами Г и у, включая и самые контуры (фиг. 80). Следовательно, на основании теоремы Коши (§ 2, п. 5) имеем:

Равенство (46) показывает, что значение ^ ср (С)с?С не зависит от радиуса р вспот могательной окружности будучи постоянным числом, равным значению [ <�р (С)^СЧтобы определить это постоянное значение <�р (?)*/С, г «т заметим, что функция ср© стремится к определённому конечному пределу, когда точка ц стремится к точке z. Действительно, из равенства (45) следует:

Следовательно, если принять /' (z) за значение функции ср© в точке С = 2, то (р © становится непрерывной функцией всюду в замкнутой области О, и мы можем предположить: |<�р (С)|<�С^/М' где М — постоянное, какова бы ни была точка С области О. Пользуясь последним неравенством, получаем:

откуда следует, что = так как р можно принять сколь угодно малым, а значение нашего интеграла есть постоянное число. Обращаясь к равенству (46), перепишем его так:

Заменяя в последнем равенстве <�р © по формуле (45), получим:

fd^r

~ = 2тг/, то формула (47) г примет вид:

что и нужно.