Основы стохастического дифференциального исчисления

Среди процессов Ито важную роль в финансовых приложениях играют те, для которых коэффициенты, входящие в стохастический дифференциал, зависят от времени и от самих значений соответствующего процесса. В данном случае стохастический дифференциал процесса Ито определяется в виде соотношения.

где a (t, х), b (t_f х) — измеримые функции на R+ х М.

t

Например, применяя к процессу X_t. = Х₀ +е^ш jbe~^asdV_s формулу Ито, о.

получим стохастический дифференциал вида.

Данный процесс относится к классу процессов Орнштейна — Улеибека, которые, в свою очередь, широко используются в непрерывных моделях динамики процентных ставок.

Г а²)

а~ t+oW_t

Процесс Y_t = Y₀e^ ², который называют геометрическим, или экономическим, броуновским движением, обладает согласно формуле Ито стохастическим дифференциалом вида.

который имеет, как будет показано ниже, фундаментальное значение для моделирования динамики цен рисковых финансовых активов на рынке капитала.

В приведенных выше примерах мы, отталкиваясь от явного вида процессов X = (X_t) и У = (УД, получали с помощью формулы Ито их стохастические дифференциалы (2.12) и (2.13). Можно, однако, изменить точку зрения, а именно, рассматривать формулы (2.12) и (2.13) как стохастические дифференциальные уравнения (stochastic differential equation) относительно неизвестных процессов X и У и попытаться установить, что найденные их решения являются в определенном смысле единственными решениями указанных уравнений. Естественно, необходимо придать точный смысл понятию стохастического дифференциального уравнения и определить его решение.

Стохастическим дифференциальным уравнением называется уравнение вида.

где a (t, х), b (t, x) — измеримые наЕ+хМ функции двух переменных t и х, W_t — винеровский случайный процесс.

Решением стохастического дифференциального уравнения (2.14) на промежутке [0; 7] называется случайный процесс X -(X,)₍>₀, удовлетворяющий следующим условиям:

• 1) все траектории случайного процесса X = (X_t) непрерывны¹ на промежутке [0; 7];
• 2) для любого t е [0; Г] почти наверное выполняется соотношение

где Х₀ — заданное значение случайного процесса X = (Х_г) в начальный момент времени (начальное условие стохастического дифференциального уравнения (2.14)). Решение стохастического дифференциального уравнения является марковским процессом, т. е. изменение X_t при t > (₀ не зависит от значений X, при t < t₀, а определяется только текущим состоянием процесса Х,₍₎.

Рассмотрим один из возможных подходов к решению стохастических дифференциальных уравнений с заданным начальным условием, широко используемый в ряде задач финансовой математики.

Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение.

с начальным условием.

Требуется определить конкретный вид случайного процесса Y = (Y_t), траектории которого удовлетворяют соотношению (2.15) и начальному условию (2.16). Для решения поставленной задачи представим процесс Y, как функцию F (t, х) времени t и винеровского случайного процесса W₍:

Тогда, используя формулу Ито, получим, что стохастический дифференциал процесса Y_t имеет вид.

Оксендалъ Б. Стохастические дифференциальные уравнения / Б. Оксендаль. М.: Мир,.

2003.

Сравнивая соотношения (2.15) и (2.18), получим следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестной функции F (t, х):

Учитывая условие (2.16) и предположение (2.17), а также тот факт, что W₀ = 0, начальное условие для системы уравнений (2.19) определяется зависимостью.

Таким образом, для решения стохастического дифференциального уравнения общего вида (2.15) необходимо найти решение системы дифференциальных уравнений в частных производных (2.19) с начальным условием (2.20). Решение задач подобного типа подробно рассматривается в рамках методов математической физики. Одним из способов решения является метод разделения переменных, или метод Фурье. Метод состоит в том, что решение системы уравнений (2.19) ищется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной — временной и пространственной соответственно. Другими словами, функция F (t, х) представляется в виде

Подставив эту функцию в уравнения системы (2.19), получим систему относительно одномерных функций f (x) g (t). Продемонстрируем описанную методику на примере решения стохастического дифференциального уравнения (2.13) с начальным условием вида (2.16), описывающего динамику геометрического броуновского движения. В данном случае система дифференциальных уравнений относительно функции F (t, х) выглядит следующим образом:

где а и, а — коэффициенты геометрического броуновского движения. Представляя функцию F (t, х) в виде (2.21), получим следующую систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций/(х) ng (t):

с начальным условием

откуда непосредственно получаем.

где с_{ — const.

Подставляя соотношение (2.24) в первое уравнение системы (2.22), после некоторых преобразований находим выражение для g (t):

где с₂ = const.

Окончательно, с учетом того, что Y_t=F (t, W_t) = g (t)f (W_t), а также начального условия (2.23), решение стохастического уравнения (2.13) имеет вид.

Заметим, что в частном случае, когда стохастическое дифференциальное уравнение имеет более общий вид.

аналогичным образом можно записать для него решение задачи Коши в виде¹

Следует отметить, что в общем случае не всегда возможно получение решения стохастического дифференциального уравнения вида (2.15) описанным методом разделения переменных. В подобных ситуациях используются численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений, получившие в последнее время широкое распространение в различных естественнонаучных дисциплинах. Общей основой указанных методов является подход, связанный с конечной дискретизацией временного интервала [0; 7] и моделированием решения стохастического дифференциального уравнения в дискретные моменты времени с помощью стохастических аналогов разложений Тейлора и специальных методов моделирования стохастических интегралов.