Гармонические колебания. 
Электротехника (теория электрических цепей)

В гл. 1 изложены основополагающие принципы и методы анализа резистивных цепей, которые сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений. Возникает вопрос: нельзя ли эти простые методы распространить на класс цепей с емкостными и индуктивными элементами? Наличие в цепи емкостей и индуктивностей приводит к их описанию интегро-дифференциальными или дифференциальными уравнениями, решение которых требует значительно больших затрат. Излагаемый в этой главе метод комплексных амплитуд позволяет использовать для анализа стационарного (установившегося) режима цепей при гармоническом воздействии рассмотренные выше методы для резистивных цепей. Метод базируется на преобразовании интегро-дифференциальных уравнений в линейные алгебраические уравнения с переменными в виде комплексных величин. Такое преобразование возможно благодаря уникальным свойствам гармонических колебаний. Обоснованию, особенностям и применению метода комплексных амплитуд и посвящена эта глава.

Представление гармонических колебаний. Аналитическое описание. Среди элементарных периодических колебаний фундаментальную роль играют колебания, описываемые косинусоидальными (или синусоидальными) функциями (рис. 3.1.1, а):

где Х_у Ф — амплитуда и начальная фаза (при t = 0) колебания с частотой со; со = 2к/Т; Т — период гармонического колебания Спектральное представление. Как следует из выражения (3.1.1), при заданной частоте со гармоническое колебание полностью характеризуется амплитудой X и фазой Ф. Поэтому возможно спектральное представление колебаний в виде зависимостей «амплитуда — частота» (рис. 3.1.1, б) и «фаза — частота» (рис. 3.1.1, в).

Проекционное и комплексное представления. Если в декартовой системе координат поместить вектор длиной X с угловым положениемФ, а затем вращать его с угловой частотой (скоростью) со (рис. 3.1.1, г), то проекция вектора на ось абсцисс будет описываться выражением (3.1.1). Это свидетельствует о возможности представления гармонического колебания с помощью двух вращающихся векторов на комплексной плоскости и получения его аналитического описания. Для обоснования такой возможности воспользуемся выражением.

полученным на основании известной формулы Эйлера, которая описывает единичный вектор на комплексной плоскости:

Учитывая (3.1.2), запишем (3.1.1) в виде полусуммы двух векторов.

где X = Хехр (-/Ф) — комплексная амплитуда; Х*=Хх х ехр (-уФ) — комплексно сопряженная амплитуда.

На рис. 3.1.1, д показано начальное положение векторов X_tv X* и два противоположных направления их вращения, которые задают множители ехр (±усо?) (3.1.4). Сумма проекций векторов на мнимую ось дает нуль, поскольку они направлены в разные стороны. Полусумма проекций на вещественную ось равна ХсоэФ. При вращении векторов с частотой со полусумма их проекций на вещественную ось изменяется по закону косинуса (3.1.4).

Фундаментальные свойства. Гармонические колебания (3.1.1) обладают двумя весьма важными с практической точки зрения свойствами:

• при многократном дифференцировании и интегрировании колебания сохраняют форму (изменяются лишь амплитуда и начальная фаза):

Рис. 3.1.1. Формы представления гармонического колебания:

а — графическая; б — спектральная в координатах «Амплитуда — Частота»; в — спектральная в координатах «Фаза — Частота»; г — в виде проекции вращающегося вектора; д — комплексная форма.

• гармонические колебания представляют собой ортогональные функции. Свойство ортогональности выражается следующими соотношениями:

Исключительное место, которое занимают гармонические колебания в электротехнике, электронике и теории цепей, обусловлено:

• • простотой генерирования, что предопределило широкое их использование в качестве источников энергии;
• • неизменностью формы при прохождении через цепи, описываемые линейными дифференциальными уравнениями. Благодаря этому свойству гармонические колебания широко используются для тестирования электронных устройств. Если при гармоническом воздействии отклик сохраняет свою форму, то цепь является линейной; при изменении формы отклика — нелинейной;
• • минимальной полосой частот, занимаемой гармоническими колебаниями, что позволяет использовать их в качестве средства доставки информации по различным каналам связи;
• • свойством ортогональности, благодаря которому гармонические колебания используются для представления периодических колебаний сложной формы в виде тригонометрического ряда Фурье;
• • построением символического метода комплексных амплитуду позволяющего перенести полученные ранее теоретические положения для резистивных цепей на цени с реактивными элементами.