Матрицы перехода элементов динамической модели и правило знаков

Если исключить из рассмотрения влияние диссипативных сил, то гармонические колебания различных сечений системы происходят в одной фазе или в противоположных фазах. Тогда колебание в любом сечении может быть охарактеризовано его амплитудой а, которая принимается положительной, если его фаза совпадает с фазой колебания элемента, принятого за исходное, и отрицательной, если колебания происходят в противофазе, т. е. отличаются на к. Аналогичный вывод справедлив и относительно амплитуд сил Q. Однако во избежании ошибок при определении реакций в сечениях следует договориться о знаке сил (или моментов), действующих на «левую» и «правую» части системы. Примем следующее правило знаков: реактивную силу или момент на «входе» элемента j будем считать положительными, если их направление совпадает с положительным направлением отсчета координат (рис. 10.1, а — сечение 7−1). На «выходе» (сечение J) — правило знаков обратное.

Рис. 10.1.

Из теории линейных систем известно, что числа а.__х и О, («вход») и числа а. и Q («выход») при гармонических колебаниях с частотой р связаны между собой линейными зависимостями следующего вида:

Здесь А, В, С, D. - размерные коэффициенты, зависящие в общем случае от параметров системы (масс, моментов инерции, коэффициентов жесткости) и от частоты р гармонических колебаний.

При этом справедлива матричная форма соотношений.

(10.1).

Квадратную матрицу Г, образованную элементами A_r В_}, С, D, называют матрицей перехода. Отношение Q/a называется динамической жесткостью, а обратная величина aJQ. — динамической податливостью.

Отметим, что несмотря на условность, принятую при выборе знаков, знак динамической жесткости не зависит от выбора направлений отсчета, а лишь от сдвига фаз между колебаниями и силами. Другими словами, динамическая жесткость положительна, если на рассматриваемой частоте фаза силы совпадает с фазой перемещения, а в случае противофазы — отрицательна.

Следует подчеркнуть, что при использовании матриц перехода в задачах динамики машин в качестве обобщенных координат принимаются абсолютные динамические ошибки, равные отклонениям абсолютной координаты в рассматриваемой точке или сечении от идеального значения при программном движении (т. е. при абсолютно жестких звеньях).

Рассмотрим матрицы перехода ряда простейших элементов.

1. Упругий элемент с коэффициентом жесткости с . В этом случае амплитуды перемещения на его концах отличаются на величину амплитуды деформации, а амплитуды сил согласно третьему закону Ньютона равны между собой:

Таким образом, согласно (10.2) и (10.3) элементы матрицы перехода определяются как Л. = 1, В = сг С. = 0, D. = 1.

2. Инерционный элементJ. (или т). Аналогичным образом получаем

3. Преобразование координат, реализуемое в идеальном механизме. При учете линеаризации функции положения в окрестности программного движения (см. параграф 7.1) для кинематического аналога механизма, соответствующего преобразованию при «переходе» через механизм, имеем a_j=a_HU Qj=Q_H(П')"¹. Отсюда Л_}- П'; В. = 0;; С. = 0; Г>₎ = (П'), где П'(ф) «абсолютное значение первой геометрической передаточной функции при программном движении.

Обратим внимание на то, что функцию ГГ следует брать по абсолютной величине, так как изменение знака при амплитудных преобразованиях с помощью матриц перехода свидетельствует о колебаниях в противофазах, в то время как в кинематических расчетах это изменение отвечает направлению движения, но отношению к выбранной системе отсчета. (Для упрощения записи знак абсолютной величины всюду опущен.) В частном случае при зубчатых передачах функция П' трансформируется в постоянное передаточное отношение.

Обратим внимание на следующее свойство матриц перехода.

Здесь det Г — определитель матрицы Г.