Основы дифференциального исчисления. 
Исследование функций с помощью производных

Основные определения и понятия

Пусть функция у =f (x) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента х₀ е X произвольное приращение Ах, так чтобы точка хц + Дхтоже принадлежала X. Тогда функция /(х) получит соответствующее приращение Ду =/(х₀ + Дх) -/(х₀).

Определение 10.18. Производной функции у = /(х) в точке х’о называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при Дх —ⁱ— 0 (если этот предел существует):

dy.

dx'

Производная имеет несколько обозначений: y', f'(x),

Иногда в обозначении производной используется нижний индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например, у'_х.

Независимо от того, какой процесс описывается данной функцией, это отношение воспринимают как среднюю скорость ее изменения на отрезке Дг.

Необходимое условие существования производной выражает следующая теорема.

Теорема 10.4. Если функция имеет производную, то она непрерывна.

Доказательство. По свойству предела из формулы опрсдсДу

ления производной получаем: —=у' + а (х), где а (х) — величина бесконечно малая при Дг —* 0. Отсюда Ду = у’Ах + а (х)Ах => => lim Ay = 0. Полученное равенство выражает непрерывность Дл—0.

функции.

Следствие из теоремы. В точках разрыва функции производная нс существует.

Обратим внимание па то, что в приведенной записи приращение Ау представлено как сумма двух слагаемых: первое у'Ах - главная часть приращения, линейная относительно Ах и эквивалентная Ау при Дг —*• 0; второе слагаемое а (х)Дс является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с Дг. Это наблюдение приводит к следующему определению.

Определение 10.19. Главная часть приращения функции, линейная относительно Дг, называется дифференциалом и обозначается dy

Поскольку приращение Дг совпадает с dx, то эту формулу записывают в следующем виде:

Отсюда получается выражение для производной в виде дроби:

Приращение функции приближенно равно дифференциалу:

что позволяет применять дифференциал в приближенных вычислениях.

Замечание. Если воспользоваться физической терминологией, то можно сказать, что производная характеризует скорость процесса, описываемого заданной функцией, в момент х.