Нормальные (главные) координаты

Снова обратимся к колебательной системе с двумя степенями свободы (см. параграф 4.4). Решение (4.28) имеет следующую структуру: q_x =0j +0₂; q₂ =Р, 0, + р₂0₂. Это наводит на мысль перейти от обобщенных координат q_{ и q₂ к новым координатам 0j и 0₂. Тогда после подстановки в (3.2), (3.5) при Н = 2 и A._k = a_ik = const.

Здесь принято.

Примем коэффициенты p_t и р₂ в качестве двух неизвестных параметров в системе уравнений, полученной из (4.44) при а> = 0, с. = 0. Для решения этой системы уравнений воспользуемся подстановкой Тогда

На основании формул Виста запишем следующее квадратное уравнение:

корнями которого являются искомые неизвестные р, и (3₇. Как и следовало ожидать, эти неизвестные совпадают с коэффициентами формы.

Далее, подставляя (4.43) в уравнения Лагранжа (3.6), имеем.

Новые зависимости для обобщенных сил легко определяются из условия баланса работ на возможных перемещениях:

Отсюда следует.

В новых координатах, называемых нормальными, или главными, каждая из них 0, и 0₇ определяется из соответствующего дифференциального уравнения второго порядка, а не из системы уравнений, что, разумеется, намного проще.

Согласно (4.45) собственные частоты находятся как.

Так, для примера, рассмотренного в параграфе 4.4, имеем.

^{а = а}Т2 ^{= т}' ^а2 ^{= С =С}22 ^{= 2с; С}2 ⁼ «^С; Pi ^{= 1;} Р2 ⁼ «I* Отсюда согласно (4.43) а_х = а.₂ = 2т; с_{ = 2с; с₂ = 6с, а следовательно,.

что, естественно, совпадает с результатом, полученным выше.

При переходе к нормальным координатам для систем с И степенями свободы удобно пользоваться матричной формой решения. При этом инерционные и квазиупругие коэффициенты а_; и с определяются как.

а новые обобщенные силы ;

(Коэффициенты формы р — см. параграф 4.4.).

После решения дифференциальных уравнений вида (4.45) исходные обобщенные координаты определяются следующим образом:

В заключение подчеркнем, что нормальные координаты нс имеют физического смысла, т. е. не соответствуют в общем случае перемещению какого-либо реального элемента системы. Их использование — это просто удобный способ преобразования исходной системы уравнений, облегчающий анализ и инженерные расчеты. В частности, с помощью нормальных координат можно более корректно учесть гистерезисные диссипативные силы (см. гл. 9).