Процесс течения расплавов полимеров в винтовых каналах С-образной секции двухшиекового экструдера

Если для описания гидродинамики потока в зоне дозирования одношнековых экструдеров применима плоская модель течения, то в отношении двухшнековых экструдеров, где глубина винтового канала h соизмерима с его шириной IV (h ~ W), необходимо рассматривать задачу течения вязкой жидкости в каналах прямоугольного сечения. Экспериментально показано, что в этом случае на распределение скоростей потока в направлениях осей х, у и z большое влияние оказывают боковые стенки винтового канала С-образной секции.

Движение жидкости рассматривается относительно плоской неподвижной секции (рис. 2.54, а), полученной разверткой в плоскость реальной С-образной секции (рис. 2.54, б).

Поверхность цилиндра, развернутая в плоскость, перемещается относительно рассматриваемого элемента жидкости со скоростью v_fl, имеющей компоненты _az и v^. Поверхность шнека, образующая стенки канала, движется относительно данного элемента жидкости (расплава полимера) со скоростью v$ в направлении оси z.

Рис. 2.54. С-образная секция винтового канала двухшнекового экструдера

Под действием v_a? и v* возникает вынужденный поток Q_d (рис. 2.55, а, б) вдоль винтового канала. Возникновение этого потока вызвано только внутренним трением (наличием вязкого трения в расплаве полимера), и распределение скоростей носит линейный характер. Ввиду выжимающего действия витков сопряженного шнека вдоль канала возникает градиент давления (Эр/Эг)*, вызывающий поток под давлением Q_p (обратный поток) (см. рис. 2.55, а), с параболическим профилем распределения скоростей. Наложение этих потоков дает результирующую эпюру скоростей потока в винтовых каналах двухшнековых экструдеров.

Наличие зазоров зацепления 6о, Ь₅, 5 и действие градиента давления (Эр/Эг)* вызывает потоки утечек через указанные зазоры Q_w (через валковые зазоры 5Q_s (через боковые зазоры 5_S) и Qs (через радиальные зазоры 6).

При общепринятых допущениях для ньютоновской жидкости уравнения движения и неразрывности принимают следующий вид:

Рис. 2.55. Основные потоки вязкой жидкости в винтовых каналах двухшнекового экструдера (а) и скорости потока в С-образной секции (б).

Решение уравнения (2.108) при граничных условиях (см. рис. 2.54):

имеет следующий вид при (Эр/Ът)_к = const:

Первые два члена правой части уравнения (2.113) описывают распределение скорости вынужденного потока Qj (см. рис. 2.55, а), обусловленного относительным движением поверхностей шнека и цилиндра, а последний член — распределение скорости потока Q_p под действием (Эр/Эг)*, возникающего в результате выжимающего действия витков сопряженного шнека.

Дифференцированием уравнения неразрывности (2.111) по х и у и подстановкой полученного выражения в (2.109) и (2.110) находим:

Определение скоростей v_xk в поперечном направлении сводится к решению дифференциального уравнения (2.114) при следующих граничных условиях:

При решении указанного уравнения на основании экспериментальных данных принималось, что (др/дх)_к = const. Тогда решением уравнения (2.114) при граничных условиях (2.116) получим выражение поперечной скорости v_xk циркуляционного течения в винтовых каналах С-образной секции в следующем виде:

Величина (др/дх)_к в последнем уравнении определяется из равенства нулю поперечного циркуляционного потока:

Наличие поперечной циркуляции жидкости в нормальном сечении винтового канала предопределяет существование вертикальной составляющей скорости потока. Решением дифференциального уравнения (2.115) при граничных условиях:

получим следующее выражение для расчета профиля вертикальной составляющей скорости _ук циркуляционного течения:

Градиент давления (Эр/ду)_к в уравнении (2.121) находим из соотношения.

Совместным решением (2.117), (2.121) и (2.122) получим:

После подстановки выражения (2.119) для (dp/dx)_k и математических преобразований при у — h/2 (dp/dy мало зависит от координаты у) получим:

На рис. 2.56 представлены эпюры скоростей v_xk (рис. 2.56, а), v_yk (рис. 2.56, б) и Vj* (рис. 2.56, в) потока в винтовых каналах Сообразных секций двухшнекового экструдера, построенные по результатам расчета на ЭВМ уравнений (2.117), (2.121) и (2.113).

При сравнении указанных теоретических скоростей потока с экспериментально полученными (см. рис. 2.36, 2.43, 2.44) видно, что:

1) эпюры скоростей расчетных и экспериментально замеренных идентичны;

Рис. 2.56. Теоретические профили скоростей потока поперек винтового канала v_j4 (а), по высоте v,* (6) и вдоль винтового канала (в).

• 2) если у расчетных эпюр скоростей _хк = 0 наблюдается при y/h = 2/3, то у экспериментально полученных у** = 0 при y/h = ⁼0,7 + 0,8;
• 3) у расчетных эпюр скоростей _ук отсутствует влияние боковых стенок винтового канала, в то время как у экспериментально полученных заметно их влияние (максимумы ч_ук смещены к боковым стенкам).

Такое различие расчетных и экспериментальных эпюр скоростей _хк и _ук связано с тем, что при решении уравнений (2.114) и (2.115) приняты упрощающие допущения о том, что (др/дх)_к = = const и (Эр/ду)_к = const. Однако такое небольшое допущение вполне уместно для инженерных расчетов и анализа процессов смешения.

При выводе уравнений для расчета скоростей потока в винтовых каналах С-образных секций v^, _хк, _ук [уравнения (2.113),.

(2.117), (2.121)] исходили из предположения о постоянстве градиентов давления (Э/?/Эг)*, (др/дх)_к и (Эр/ду)_к. При неизвестной закономерности изменения указанных градиентов давления распределение скоростей потока в винтовых каналах С-образной секции можно рассчитать на ЭВМ методом конечных разностей. Для этого поперечное сечение винтового канала было разбито на ячейки j (рис. 2.57). При расчете предполагалось стационарное ламинарное изотермическое течение несжимаемых жидкостей в канале прямоугольного сечения.

Предполагалось, что длина винтового канала С-образной секции L_c намного больше ширины, т. е. L_c" W (см. рис. 2.57), а также L_c" И. Очевидно, что за исключением входного и выходного участков компоненты скорости v^, _ук и не зависят от координаты z. Нагнетание жидкости происходит за счет движения верхней стенки канала (жидкость смачивает стенки, следовательно, имеет место вязкое течение) и действия перепада давления (Ър/Ы)_к по оси zу причем (Эp/dz)_k = const. При этом верхнее основание (стенка) движется со скоростью v_c под углом, а подъема винтового канала. С учетом принятых допущений уравнения, описывающие течение жидкости в канале, принимают вид:

Рис. 2.57. К расчету скоростей потока в канале прямоугольной формы на ЭВМ методом конечных разностей

где р — плотность расплава; щ — эффективная вязкость расплава;

(здесь J₂ — второй инвариант тензора скоростей деформации).

Решение системы уравнений (2.125) — (2.128), которая должна быть еще замкнута граничными условиями, в общем случае нельзя получить в явном виде. Правда, в предположении, что жидкость ньютоновская и критерии Re" 1, a (dp/dz) — const, решение для Vtf =Дх, у) приведено выше [см. уравнение (2.113)].

Рассмотрим на примере данной задачи применение метода конечных разностей. Однако для этого преобразуем систему уравнений (2.125)—(2.128), так как решение задачи в динамических переменных р и v сопряжено с рядом трудностей. Основное неудобство состоит в том, что мы заранее не знаем распределение давления в винтовом канале. Поэтому в механике жидкостей при решении двумерных задач предварительно исключают из первых двух уравнений указанной системы давление. Это достигается дифференцированием первого уравнения по у, а второго — по х и последующим вычитанием одного из другого. При этом кроме давления из полученного уравнения исключаются также многие члены, содержащие скорости v_x* и v^.

Введение

м новой переменной |/ — функции тока — исключают еще ряд членов, содержащих ^ухк ^{и v}yb а также избегают необходимости в процессе решения удовлетворять уравнению неразрывности (2.128), так как функция тока у связана с компонентами скоростей следующими соотношениями:

При дифференцировании бьш повышен порядок уравнения, который можно снизить с помощью введения еще одной новой зависимой переменной — вихря со*:

После проведения всех описанных выше преобразований получим:

Данная постановка задачи позволяет учитывать зависимость вязкости от второго инварианта тензора скоростей деформации, а также зависимость плотности от давления. Система уравнений (2.130)—(2.132) замыкается граничными условиями прилипания жидкости к стенкам канала, которые имеют вид:

Кроме того, значение вихря на стенке канала в произвольной точке с (см. рис. 2.57).

где у/ —значение функции тока в #-й точке, расположенной на нормали к стенке на расстоянии л,; у_с — значение функции тока в точке с на границе.

Уравнения (2.130)—(2.132) были рассчитаны на ЭВМ при различных значениях N_t угла подъема a, h/Wn вязкости. При расчете были использованы экспериментально найденные значения (dp/dz)k в С-образных секциях винтовых каналов двухшнековых экструдеров. Теоретические эпюры скоростей (рис. 2.58) полностью идентичны экспериментальным (см. рис. 2.36).

Рис. 2.58. Теоретические эпюры скоростей (расчет на ЭВМ методом конечных разностей).

Эпюры скоростей v** и _ук приведены на рис. 2.59 и 2.60. Из рис. 2.59 видно полное совпадение с профилями скоростей v**, рассчитанными из предположения (др/дх)_к = 0 (см. рис. 2.56, а). Сравнение рис. 2.60 с рис. 2.56, б показывает, что расчет _ук из предположения (др/Ъу)_к = const дает профиль скоростей _ук, несколько отличный, чем v** при (3р/ду)_к = var. Однако для инженерных расчетов это допустимо, так как компонента у_ук не оказывает существенного влияния на производительность и мощность привода двухшнековых экструдеров.

Эпюры скоростей v_yk, рассчитанные на ЭВМ (см. рис. 2.60), показывают хорошее совпадение с экспериментальными (см. рис. 2.44).

С увеличением И/Wot 0,4 до 1,0 сильнее сказывается влияние боковых стенок винтового канала (см. рис. 59, а—в). Это заметно на примере смещения координаты x/Wв сторону увеличения.

Эпюры скоростей v_yk показывают, что в зависимости от h/W меняются координаты x/W максимальных значений _ук: с уменьшением значений h/W вершины кривых смещаются к боковым стенкам (см. рис. 2.60, а—в). Видно, что уже при h/W= 0,4 имеется область значений x/W> где v_yk = 0. При дальнейшем уменьшении h/W эта область постепенно увеличивается и при h/W<0, только в небольших пристенных участках канала _ук*0. Это обстоятельство подтверждает правомерность пренебрежения компонентой _ук в теории одношнековых экструдеров, снабженных шнеками, винтовые каналы которых имеют значение h/W<0_t 1.

Проведенный теоретический анализ течения жидкости в винтовых каналах двухшнековых экструдеров показал:

Рис. 2.59. Теоретические эпюры скоростей Vxk/К (поперек канала) циркуляционного потока в винтовых каналах прямоугольной формы с различными значениями h/W (расчет на ЭВМ методом конечных разностей).

Рис. 2.60. Теоретические эпюры скоростей vyi/V_c (по высоте канала) циркуляционного потока в винтовых каналах прямоугольной формы с различными значениями h/W (расчет на ЭВМ методом конечных разностей).

• 1) при расчетах можно принять (dp/dz)_k — const и (dp/dz)k ~ const;
• 2) при размерах поперечного сечения винтового канала h/W= = 0,4-*-1,0 нельзя пренебрегать составляющей _ук, особенно важен учет ук при анализе процессов смешения;
• 3) боковые стенки винтовых каналов, как следует из эпюр скоростей _хк и _ук, оказывают большое влияние на распределение скоростей потока, что свидетельствует об ошибочности утверждений, предлагающих пренебречь этим влиянием.