Метод фазовой плоскости синтеза оптимальной по быстродействию системы

Пусть задана вполне управляемая линейная стационарная система.

все корни характеристического уравнения которой действительны. Заметим, что ограничения более общего вида, а ^ и ^ /?, где, а 0, введением нового управления v = [2u — (а + 0)/{0 — а) всегда приводится к приведенному выше виду v ^ 1. Рассмотрим задачу синтеза оптимального по быстродействию регулятора, обеспечивающего перевод системы из произвольной начальной точки в начало координат.

Так как управление скалярное, условие нормальности совпадает с условием управляемости, поэтому выполняются все условия теоремы об п интервалах. В соответствии с этой теоремой оптимальное управление, имея не более п интервалов постоянства, принимает только крайние значения: —1 или 1. Если представить его как функцию фазовых координат и* = и*(х), то ясно, что все фазовое пространство разбивается на два подпространства: подпространство, в котором и* = — 1, и подпространство, в котором и* = 1. Гиперповерхность (при п = 2 — кривая, при п = 3 — поверхность), которая делит фазовое пространство на указанные подпространства, называют гиперповерхностью (кривой, поверхностью) переключения. Если записать уравнение гиперповерхности <�т (х) = 0, то (при соответствующем выборе сг (х)) 0 по одну сторону от гиперповерхности и а (х) < 0 по другую. Всегда можно выбрать функцию <�т (х) так, чтобы она была отрицательна в подпространстве, где и* = —1, и положительна в подпространстве, где и* = 1. Тогда, очевидно, оптимальным управлением будет и* = signcj (x). Поэтому нахождение оптимального управления с обратной связью сводится к определению функции <�т (х), которая называется функцией переключения.

При п = 2 для нахождения функции переключения можно воспользоваться методом фазовой плоскости. На фазовой плоскости строятся семейства фазовых траекторий, соответствующих управлениям и* = -1 и и* = 1. Оптимальная траектория представляет собой часть траектории или соединение частей двух траекторий из построенных семейств. В силу граничного условия на правом конце траектории x (tf) = 0 она должна оканчиваться в начале координат. Используя эти свойства оптимальных траекторий, нетрудно определить кривую переключения. Проиллюстрируем изложенное на простейшем примере.

Пр и мер 10.2. Определить оптимальный по быстродействию закон управления двигателем, описываемым уравнениями Решение. Характеристическое уравнение имеет кратный нулевой корень. Выполняются все условия теоремы об п интервалах. Оптимальное управление может принимать значения —1 или 1. Найдем соответствующие им фазовые траектории. Разделив второе уравнение на первое, получим.

Проинтегрировав последнее уравнение при и = — 1 и и — 1, соответственно получим или.

На рис. 10.2, а представлены оба семейства траекторий. Оптимальная траектория должна состоять из участка траектории одного.

Рис. 10.2. Построение фазового портрета оптимальной системы.

семейства, проходящей через начальную точку, и участка траектории другого семейства, проходящей через начало координат. Из сказанного следует, что переключение должно происходить на полутраекториях АО и О В (рис. 10.2, а). Если вначале изображающая точка движется по траектории, соответствующей и* = —1, то переключение должно произойти на полутраектории ВО, которая описывается уравнением.

И если вначале изображающая точка движется по траектории, соответствующей и* = 1, то переключение должно произойти на полутраектории О А, которая описывается уравнением.

Фазовый портрет оптимальной системы представлен на рис. 10.2, б. Уравнение линии переключения АОВ, основываясь на уравнениях полу траекторий АО и ОВ, можно записать так:

Функция <�т (х) отрицательна справа от линии переключения, где и* = -1, и положительна слева, где и* = 1. Поэтому имеем.

Заметим, что кривая АО В может быть описана уравнением.

Однако знак функции <�т (х) слева и справа от кривой АОВ меняется при переходе с верхней полуплоскости в нижнюю полуплоскость. Поэтому эта функция не может быть функцией переключения.

Как следует из фазового портрета, переходный процесс оптимальной системы является апериодическим. Однако из-за неидеальности переключающего устройства, неточности математической модели объекта и других возмущений реальный переходный процесс может оказаться колебательным.