Работа внутренних сил

Работу внутренних сил определим как сумму работ напряжений по объему тела. При простом растяжении в случае действия одной силы (рис. 21.2, а) в сечениях стержня возникает одно нормальное напряжение о. Удельная работа внутренних сил равна площади диаграммы деформирования в координатах о—с (рис. 21.2, б). Приращение удельной работы внутренних сил на приращении деформаций 8fV_Q^BHyrp = обе.

Рис. 21.2. К определению удельной работы внутренних сил.

В общем случае нагружения в точке тела действуют шесть компонент напряжений. Тогда согласно принципу независимости действия сил удельная работа внутренних сил равна сумме работ от всех шести компонентов напряжений:

или в матричном виде.

Полную работу внутренних сил определяют как интеграл по объему тела от удельной работы:

При упругой деформации знак вариации в выражении (21.4) можно опустить. В этом случае диаграмма деформирования о —с линейная и удельная работа внутренних сил равна площади треугольника (диаграммы) (рис. 21.2, в).

При действии одного напряжения И^/Г₀^внугр =^ае. При действии шести компонент напряжений удельная работа внутренних сил.

Полная работа внутренних сил при упругой деформации.

Подведем итог. При упругой деформации работу внешних и внутренних сил можно определить по формулам (21.2) и (21.6), при упругопластической деформации — по формулам (21.1) и (21.4).

Принцип возможных перемещений — при упругой деформации сумма работ внешних и внутренних сил равна нулю, т. е. И^/Внеш + И^/Внутр = О, или с учетом формул (21.2) и (21.6) ⁼ 0 •.

v

Знак минус означает, что, затрачивая работу внешних сил, увеличиваем внутреннюю энергию тела. Упрощая последнее выражение, получаем при упругой деформации.

Математическое выражение принципа возможных перемещений (21.7) лежит в основе расчетов прочности и жесткости конструкций методом конечных элементов.