Первый закон Кирхгофа в операторной форме

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла а схемы на рис. 8.28.

Применим преобразование Лапласа к уравнению (8.50) и воспользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений:

В общем случае.

Уравнение (8.51) выражает собой первый закон Кирхгофа в операторной форме.

Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Для любого замкнутого контура любой электрической цепи можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений. Предварительно необходимо выбрать положительные направления для токов в ветвях и направление обхода контура.

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура на рис. 8.30. Контур обходим по часовой стрелке. Учтем, что индуктивности Lj и L₂ связаны магнитно. При выбранных положительных направлениях для токов Д и i₂ между Ь_г и L₂ имеет место согласное включение.

т-т т т dii, di₂ di₂ di-i

Падение напряжения на L-, равно L —- + М —=?, на — U —- + М —-.

dt dt dt dt

При составлении уравнения учтем, что начальное напряжение на конденсаторе равно и_с(0). Пусть оно действует согласно с током i₃. Начальные значения токов i-ДО), i₂(0).

Рис. 8.30.

Имеем.

Каждое из слагаемых (8.52) заменим операторным изображением:

Подставив (8.53) в (8.52), объединим слагаемые с Д (р), /₂(р)> /₃(р), перенесем в правую часть u_c(0)/p, L₁i₁(0) и другие внутренние ЭДС. В результате получим.

где.

В более общем виде уравнение (8.54) можно записать так:

Уравнение (8.55) представляет собой математическую запись второго закона Кирхгофа в операторной форме. В состав Е_к(р) в общем случае входят и внутренние ЭДС.

Составление уравнений для изображений путем использования методов, рассмотренных в третьей главе

Из уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений, вытекают соответствующие уравнения для изображений.

Уравнения для изображений по форме аналогичны уравнениям, составленным для той же цепи с помощью символического метода для комплексов токов и напряжений.

Но если каждому уравнению для комплексов отвечает соответствующее уравнение для изображений, то все основанные на законах Кирхгофа приемы и методы составления уравнений (методы эквивалентного генератора, контурных токов, узловых потенциалов, наложения и т. п.) можно применить и при составлении уравнений для изображений.

При составлении уравнений для изображений ненулевые начальные условия учитывают путем введения «внутренних» ЭДС, обусловленных начальными токами через индуктивные элементы и начальными напряжениями на конденсаторах.