Распространение теплоты теплопроводностью в плоской и цилиндрической стенках при стационарном режиме (граничные условия первого рода)

Однородная однослойная плоская стенка. Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в однородной однослойной плоской стенке толщиной 8 при ее неограниченной ширине и длине.

Ось х направим перпендикулярно стенке (рис. 7.4). По обеим поверхностям стенки как в направлении оси у, так и в направлении оси г благодаря равномерному подводу и отводу теплоты температуры распределены равномерно.

Поскольку стенка в направлении этих осей имеет бесконечно большие размеры, то соответствующие температурные градиенты Ж/йу = (к/(к = = 0, и, таким образом, влияние на процесс теплопроводности торцевых поверхностей стенки отсутствует. При этих упрощающих задачу условиях стационарное температурное поле является функцией только координаты х, т. е. рассматривается одномерная задача. Применительно к данному случаю дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид (при д^дх = 0).

Даны граничные условия первого рода:

Рис. 7.4. Однослойная плоская стенка.

Найдем уравнение температурного ноля и определим тепловой поток Ф, проходящий через участок стенки площадью А (на рис. 1Л стенка не обозначена, поскольку располагается в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка). Первое интегрирование дает.

т.е. температурный градиент является величиной постоянной по всей толщине стенки.

После второго интегрирования получим искомое уравнение температурного поля.

где а и Ь — постоянные интегрирования.

Таким образом, изменение температуры по толщине стенки следует линейному закону, а изотермические поверхности представляют собой плоскости, параллельные граням стенки.

Для определения произвольных постоянных интегрирования используем граничные условия:

т.е.

Так как? > ?_СТ2, то проекция градиента на ось х отрицательна, как это и следовало ожидать при выбранном направлении оси, совпадающем с направлением вектора поверхностной плотности теплового потока.

Подставляя значение постоянных в (7.24), получим окончательное выражение для температурного ноля.

Линия а—Ь на рис. 7.4, так называемая температурная кривая, показывает изменение температуры, но толщине стенки.

Зная температурный градиент, можно, пользуясь уравнением Фурье (7.10), найти количество теплоты 8{), проходящей за время т через элемент площади поверхности ??4, перпендикулярной оси т.

и для участка поверхности площадью А

Формула (7.28) для теплового потока и поверхностной плотности теплового потока примет вид.

Многослойная плоская стенка. Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в многослойной плоской стенке, состоящей из нескольких (например, трех) плотно прилегающих друг к другу слоев (см. рис. 7.5).

Рис. 7.5. Многослойная плоская стенка

Очевидно, что в случае стационарного температурного поля тепловой поток, проходящий через поверхности одинаковой площади А, будет для всех слоев одним и тем же. Поэтому для каждого из слоев может быть использовано уравнение (7.29).

Для первого слоя.

для второго и третьего слоев.

где Х₂, А₃ — теплопроводности слоев; 8_1? 8₂, 8₃ — толщина слоев.

На наружных границах трехслойной стенки считаются известными температуры ?_Ст1 и ?_СТ4. По плоскостям раздела слоев устанавливаются температуры ?_СТ2 и ?_СТз, которые рассматриваются как неизвестные. Уравнения (7.31)—(7.33) решим относительно разностей температур:

а затем почленно сложим и тем самым исключим неизвестные промежуточные температуры:

или.

Обобщая (7.36) для гг-слойной стенки, получим.

Для определения промежуточных температур ?_СТ2, ?_СТз по плоскостям разделов слоев используем формулы (7.34):

Наконец, обобщая вывод на и-слойную стенку, получим формулу для температуры на границе г-го и (г + 1)-го слоя:

Иногда пользуются понятием эквивалентной теплопроводности Я_экв. Для поверхностной плотности теплового потока, проходящего сквозь плоскую многослойную стенку,.

где  — суммарная толщина всех слоев многослойной стенки. Сравнивая выражения (7.37) и (7.40), заключаем, что.

На рис. 7.5 в виде ломаной линии изображен график изменения температуры по толщине многослойной стенки. В пределах слоя, как было доказано выше, изменение температуры следует линейному закону. Тангенс угла наклона ср, температурной прямой к горизонтали.

т.е. равен абсолютному значению температурного градиента ^1'ас1 Таким образом, по наклону прямых аЬ, Ьс и с<7 можно судить о значении температурного градиента в том или ином слое. Кроме того, с учетом (7.9).

Следовательно,.

т.е. температурные градиенты для отдельных слоев многослойной плоской стенки обратно пропорциональны теплопроводностям этих слоев.

Это значит, что для получения больших температурных градиентов (что требуется, например, при изоляции паропроводов и т. п.) необходимы материалы с малыми значениями теплопроводности.

Однородная однослойная цилиндрическая стенка. Найдем для стационарного режима теплопроводности температурное поле и поверхностную плотность теплового потока для однородной однослойной цилиндрической стенки (рис. 7.6). Для решения поставленной задачи используем дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах.

Ось 2 направим по оси трубы. Примем, что длина трубы по сравнению с диаметром бесконечно велика. В этом случае можно пренебречь влиянием торцов трубы на распределение температур вдоль оси 2. Будем считать, что в связи с равномерным подводом и отводом теплоты температура на внутренней поверхности повсеместно равна ?_СТ1, а на наружной поверхности — ?_СТ2 (граничные условия первого рода). При этих упрощениях (к/<)г = 0, а ввиду симметрии температурного поля относительно любого диаметра ?/?/?Лр = 0. Изотермическими поверхностями в этом случае будут поверхности цилиндров, соосные с осью трубы. Таким образом, задача сводится к определению одномерного поля температур? = / (г), где г — текущий радиус цилиндрической стенки.

Рис. 7.6. Однослойная цилиндрическая стенка.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (7.19) при условии dt/dт = 0 примет вид.

Введем новую переменную.

которая является градиентом температур (grad ?).

Подставляя переменную и в (7.43), получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

или

Интегрируя, получаем.

Для цилиндрической стенки температурный градиент является величиной переменной, возрастающей с уменьшением радиуса г. Следовательно, на внутренней поверхности температурный градиент больше, чем на наружной.

Подставляя значение и из (7.44) в (7.45), получаем и.

где ап Ь — постоянные интегрирования.

Следовательно, кривая распределения температур по толщине стенки является логарифмической кривой (кривая а—Ь на рис. 7.6).

Определим постоянные а и Ь, входящие в уравнение температурного поля, исходя из граничных условий первого рода. Внутренний радиус поверхности обозначим г_х, наружный — г₂. Соответствующие диаметры обозначим (1_Л и (1₂. Тогда имеем систему уравнений.

Решая данную систему уравнений, получаем.

Уравнение температурного ноля примет вид Температурный градиент определяем, но формуле (7.45):

где <7, — внутренний диаметр трубы; <7₂ — наружный диаметр трубы Так как ?_СТ1 > ?_СТ2, а г, < г₂, то проекция grad? на радиус-вектор имеет отрицательное значение.

Последнее показывает, что для данного случая тепловой поток направлен от центра к периферии.

Для определения теплового потока, проходящего через участок цилиндрической поверхности длиной Ь, воспользуемся уравнением.

Из (7.46) следует, что тепловой поток, проходящий сквозь цилиндрическую поверхность, зависит от соотношения наружного и внутреннего радиусов г₂/ г_х (или диаметров с1₂ / (1_{), а не от толщины стенки.

Поверхностная плотность теплового потока для цилиндрической поверхности может быть найдена путем отнесения теплового потока Ф к площади внутренней поверхности А_вп или к площади наружной поверхности А_нп. В расчетах иногда используют линейную плотность теплового потока:

Из (7.47)—(7.49) следует.

Многослойная цилиндрическая стенка. Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в трехслойной цилиндрической стенке (трубе) длиной, А (рис. 7.7) с внутренним диаметром с1_х и наружным диаметром (1_Л. Промежуточные диаметры отдельных слоев — с1₂ и <7₃, теплопроводности слоев — Аф Х₂, Х₃.

Рис. 7.7. Многослойная цилиндрическая стенка.

Известными считаются температура ?_СТ) внутренней и температура ?_СТ4 наружной поверхности. Подлежит определению тепловой поток Ф и температуры ?_СТ2 и ?_СТзна границах слоев. Составим для каждого слоя уравнение вида (7.46):

Решая (7.51)—(7.53) относительно разностей температур, а затем почленно складывая, получим.

Из (7.54) имеем расчетное выражение для определения теплового потока для трехслойной стенки:

Обобщим формулу (7.55) на и-слойную стенку трубы: где i — порядковый номер слоя.

Из (7.51)—(7.53) находим выражение для определения температуры на границах промежуточных слоев:

Температуру ?_ст.₊₎на границе ?-го и (г + 1)-го слоя можно определить по аналогичной формуле.

В литературе приведены решения дифференциального уравнения теплопроводности для полого шара при граничных условиях первого рода, а также решения для всех рассмотренных тел при граничных условиях третьего рода. Мы эти проблемы не рассматриваем. За рамками нашего курса остались также вопросы стационарной теплопроводности в стержнях (ребрах) постоянного и переменного поперечных сечений, а также вопросы нестационарной теплопроводности.