Поведение собственных частот при изменении жесткостных или инерционных характеристик

Рассмотрим две механические системы с одинаковым числом степеней свободы, совершающие малые колебания около устойчивого положения равновесия. Пусть Л, Л₂ — матрицы инерции,.

В_г — матрицы жесткости и соответственно L_(p) = ½ (А_р<, q) — - l/2(5_pq, q) — лагранжианы систем один и два (р= 1, 2).

0.2.1. Говорят, что система 1 более жесткая, чем система II, если Л, = Л₂ = А и (5,q, q) 2: (5₂q, q) для любого q е R" .

Т (Релей). Если система I более жесткая, чем система II, то ш*| > ш*₂, k= 1, …, п, где частоты собственных колебаний систем занумерованы в порядке их возрастания, т. е. О <, ш_|р^ со₂ 5 …? ш_лр, />=1,2.

? Рассмотрим механическую систему с лагранжианом.

Она обладает набором собственных частот и форм {co*(i), u*(^J)}" fc.,> которых справедливы равенства (см. § 7.1).

Дифференцируя первые два равенства по s, получим.

Заменяя в первом соотношении (2.2) B (s)u_k(s) на to²*(i)/4u*(i) и учитывая второе соотношение (2.2), будем иметь.

Отсюда ш*(1) > <�о*(0) или со*,? со*₂. Т.

0.2.2. Говорят, что система I более инерционна, чем система II, если Д, = В₂ = В и (/4,q, q)? (Л₂Ч, Ч) Для любого q е R" .

Т (Релей). Если система I более инерционна, чем система II, то со*, < со*2, к = 1, …, л, где частоты собственных колебаний систем занумерованы в порядке их возрастания, т. е. О < ш_|(,? а>_2р S …? co_v, />=1,2.

? Рассмотрим механическую систему с лагранжианом

Собственные частоты и формы колебаний этой системы обладают свойствами.

Далее.

Используя третье соотношение (2.3), получим из второго равенства (2.4).