Примеры решения задач

Пример 10.1. Определим главные напряжения для напряженного состояния, показанного на рис. 10.14. Напряжения даны в условных единицах.

Решение. Выпишем значения компонент напряженного состояния:

Рис. 10.14. К примеру 10.1.

Тензор напряженного состояния будет иметь вид.

Подсчитаем инварианты напряженного состояния:

Согласно формуле (10.14) кубическое уравнение для определения главных напряжений будет иметь вид.

Данное уравнение можно решить численно. В результате получаем.

Пример 10.2. Определим главные напряжения в случае напряженного состояния, показанного на рис. 10.15. Напряжения даны в условных единицах.

Рис. 10.15. К примеру 10.2.

Решение. Анализируемое напряженное состояние плоское. Одно из главных напряжений нам известно: а_(/ = 0. Для вычисления двух оставшихся главных напряжений воспользуемся формулой (10.25):

В результате получаем а, = 600; а₂ = 0; а₃ = -400.

Пример 10.3. При экспериментальном определении главных напряжений в точках поверхности нагруженного тела применяется розетка из трех тензодатчиков^[1] (рис. 10.16), в которой датчики 1 и 2 взаимно перпендикулярны, а датчик 3 составляет с ними углы по 45°.

Рис. 10.16. Розетка тензодатчиков

Требуется получить расчетные формулы для определения величины и направлений главных деформаций в точке Л, используя показания тензодатчиков s_v, в₄₅, е .

Решение. Предположим, что направление главной деформации г, составляет угол, а с направлением оси х_у тогда углы между направлением и направлениями е₄₅, г_у составят соответственно, а + 45° и, а + 90°. Учитывая это, по формуле, аналогичной формуле (10.26), можно записать.

Складывая и вычитая первое и третье уравнения системы (10.55), получим.

Перенеся cos2а в левую часть, складывая и вычитая обе полученные строки, найдем.

Используя первое и второе уравнения системы (10.55), получим.

С учетом первого выражения (10.56) окончательная формула для определения угла, а приобретает вид.

После определения главных деформаций следует их перенумеровать согласно формуле (10.35).

• [1] Тензометрический датчик (тензодатчик; от лат. tensus — напряженный) — датчик, преобразующий величину деформации в удобный для измерения сигнал (обычно электрический).Среди тензодатчиков наибольшее распространение получили тензорезистивные датчики.