Понятие амплитудного и фазового спектров сигнала

Запишем комплексную функцию спектральной плотности F (jiв) в показательной форме:

где | /'//'о))| — модуль комплекса /'(ум), или амплитудный спектр сигнала; его обычно обозначают F (cо); р (со) — аргумент комплекса F (yco), или фазовый спектр сигнала.

Поскольку между функцией времени и ее спектральной плотностью существует однозначная связь, определяемая прямым (10.19) и обратным.

(10.20) преобразованиями Фурье, то сигнал может быть задан не только временной зависимостью, но и его амплитудным и фазовым спектрами.

Связь преобразования Фурье с прямым преобразованием Лапласа

Рассмотрим случай функции времени /(f), равной нулю при f < 0. Для такой функции формула прямого преобразования Фурье (10.19) имеет вид.

Подстановкаусо —> р превращает формулу (10.21) в прямое преобразование Лапласа:

Полученный результат позволяет для функции времени, равной нулю при f < 0, находить ее спектральную плотность F (yoo) по известному преобразованию Лапласа:

Это особенно удобно в тех случаях, когда изображение функции f (t) по Лапласу определяется, но таблицам соответствия.

Обратная задача (нахождение функции времени f (t) по ее спектральной плотности F (jcо)) также может быть решена через преобразование Лапласа:

Пример 10.7 (спектр экспоненциального импульса). Найдем амплитудный и фазовый спектры сигнала (рис. 10.10, а), аналитически определяемого следующим образом:

где Л и, а — положительные вещественные числа.

Решение

Записываем изображение по Лапласу функции /(?), учитывая се табличный вид:

В этом изображении производим подстановку р —? усо; получаем комплексную функцию спектральной плотности.

Полученное комплексное выражение приводим к показательной форме записи, воспользовавшись соотношением

Получаем.

Согласно этому равенству для амплитудного и фазового спектров заданной функции справедливы выражения

Графики зависимостей F (co) и у (со) приведены на рис. 10.10, б и в соответственно.

Рис. 10.10. К примеру 10.7. Спектр экспоненциального импульса:

а — график функции f (t) = Ae~^at(t); 6 — амплитудный спектр; в — фазовый спектр Пример 10.8 (спектр прямоугольного импульса). Определим амплитудный F (со) и фазовый vp (co) спектры прямоугольного импульса (рис. 10.11, а) высотой Л, длительностью Его аналитическое выражение можно записать при помощи функции Хевисайда:

Рис. 10.11. К примеру 10.8. Спектр прямоугольного импульса:

а — график функции /(/) = Л • 1© + Л • 1 (С — /_н); 6 — амплитудный спектр;

в — фазовый спектр

Решение

Переходим от заданной функции времени к ее изображению по Лапласу с учетом теоремы запаздывания:

После подстановки р —³?70 приходим к выражению для комплексной функции спектральной плотности.

Приводим данный комплекс к показательной форме записи:

Модуль полученного комплекса представляет амплитудный спектр заданного прямоугольного импульса.

Аргумент комплексной функции ТДусо), определяющий искомый фазовый спектр у (со), записываем с учетом периодического (с периодом 2л//_н) изменения знака синуса.

Для зависимости р (со) это равносильно скачкообразному приращению величиной 180° на частотах 2//_и, 4Д, и т. д., поэтому выполняются следующие равенства:

• при 0 < со <�В ]/(со) ⁼

К 2.

• 2л 4лВ со/
• • при — < со < — |/(со) = —тг + я и т. д.

Si SiВ ^.

Графики амплитудного и фазового спектров прямоугольного импульса по полученным выражениям построены на рис. 10.11, б и в соответственно.

Из полученных соотношений следует, что с уменьшением длительности импульса /_и его спектр растягивается по оси частот.