Работа внешних сил и потенциальная энергия деформации

В процессе нагружения твердого упругого тела приложенные к нему внешние силы выполняют определенную работу. Некоторая часть этой работы переходит в кинетическую энергию тела, тепло, а также рассеивается в окружающем пространстве. Оставшаяся, подлежащая дальнейшему рассмотрению часть этой работы переходит в работу внутренних сил и накапливается в теле в форме потенциальной энергии деформации.

В ряде практически важных случаев расчета, характеризующихся малой скоростью изменения действующих сил, малыми значениями сил инерции, отсутствием рассеивания энергии в виде тепловыделения и т. п., можно считать, что работа W, совершаемая внешними силами, полностью переходит в потенциальную энергию деформации тела U.

Рассмотрим твердое тело, к которому приложена обобщенная внешняя сила Д (рис. 2.3). Начальное и деформированное состояния представлены.

Рис. 2.3. Твердое тело с приложенной обобщенной внешней силой

сплошной и пунктирной линиями соответственно. Приложенная к телу сила выполняет работу на соответствующем ей обобщенном перемещении а.

В процессе деформирования значение силы Fизменяется от 0 до F_max. Работу W, совершенную силой, определяют следующим образом:

Для упругого тела, подчиняющегося закону Гука, сила и перемещение связаны линейной зависимостью (1.1). Поэтому определенный интеграл (2.16), соответствующий полной работе внешней силы, равен площади треугольника ОВС (рис. 2.4):

Рассмотрим случай одновременно действующих на тело нескольких сил ^Fv ^Fv ^рз…^F" (Р^ис— ²-5).

Рис. 2.4. К определению работы внешней силы F.

Рис. 25. Тело, нагруженное системой сил

В случае упругого тела в соответствии с принципом независимости действия сил для каждой силы зависимость величины силы от величины перемещения точки ее приложения является линейной. Поэтому работу, выполненную каждой силой, можно рассчитать, но формуле (2.17), а общее значение работ всех сил определить суммированием:

В формуле (2.18) обобщенное перемещение я, есть перемещение по направлению обобщенной силы F_it вызванное действием всех сил, приложенных к телу. Согласно принципу суперпозиции общая работа всех приложенных к телу сил нс зависит от последовательности их приложения. Однако важно отметить, что общая работа сил, приложенных к телу, не равна сумме работ, которую выполнили бы все силы, если бы их прикладывали к телу по отдельности. Поскольку потенциальная энергия деформации упругого тела накапливается в деформируемом теле вследствие работы внутренних сил, понятия потенциальная энергия деформации и работа внутренних сил можно отождествить.

Полученные результаты носят общий характер и могут быть применены для частных случаев, в том числе для центрального растяжения-сжатия стержня.

Рассмотрим потенциальную энергию упругой деформации стержня, которая, как отмечалась выше, равна работе внутренних сил при центральном растяжении-сжатии стержня. Для этого вырежем из стержня цилиндр бесконечно малой длины dx, площадь основания которого равна с1А (рис. 2.6).

Рис. 2.6. К определению работы внутренних сил.

Для этого элементарного цилиндра внутренние силы, приложенные к торцам, играют роль внешних сил. Для вычисления выполненной ими работы используем формулу (2.17). Действие на цилиндр растягивающей силы (IF = <�з (1А вызывает изменение длины цилиндра. Согласно формулам (1.10) и (2.1) это изменение равно.

Совершенная внутренними силами работа равна.

где (IV = dAdx — объем элементарного цилиндра; U — работа внутренних сил стержня.

С помощью формулы (2.18) можно установить удельную объемную энергию деформации, т. е. энергию, аккумулированную в единице объема стержня:

Работа, совершенная внутренними силами во всем объеме стержня, определяется с помощью интегрирования:

Здесь V — объем всего стержня.

Так как объем элемента стержня можно выразить как dV = Adx, с учетом соотношения (2.3) получим.

где / — длина стержня.

В случае постоянной величины нормальной силы в стержне, сечение которого постоянно, в результате интегрирования получается окончательная формула.

Если площадь поперечного сечения и нормальная сила меняются на всей длине стержня, но на отдельных участках выполняются условия постоянства площади сечения и нормальной силы, тогда для этих участков используется формула (2.22) для каждого в отдельности, и общая потенциальная энергия рассчитывается суммированием всех результатов.