Статические погрешности цифровых средств измерений

Основная метрологическая характеристика линейного ЦСИ — номинальная функция преобразования.

или.

где k_s = const — номинальный коэффициент преобразования.

Ступенчатая линия рис. 3.12 описывается формулой, соответствующей (313).

а рис. 3.13 — формулой, соответствующей уравнению (3.14).

где Int [А] означает целую часть A; sign А — функция числа A (sign А = 1 при А > 0 и sign А = -1 при А < 0).

Почти все ЦСИ выполняют так, что k_s = 1, и в идеальном случае функция ЦСИ (3.15) или (3.16) стремится к идеальной функции преобразования аналогового СИ у = k в виде.

Поскольку у ЦСИ как квантователя всегда q * 0, то даже идеальные ЦСИ обладают погрешностью, обусловленной наличием q.

Как и для аналоговых СИ, в случае ЦСИ основная статическая погрешность Д есть сумма систематической и случайной составляющих (А = Д_с + + Д). Для раскрытия их структуры ниже рассмотрим две составляющие погрешности ЦСИ: методическую, обусловленную принципом аналогоцифрового преобразования, и инструментальную, обусловленную конструкцией и свойствами реальных элементов схемы ЦСИ. В литературе [17, 96] встречаются еще понятия погрешности нелинейности или дифференциальной линейности. Однако величина этой погрешности в условиях эксплуатации ЦСИ весьма мала и представляет интерес лишь для разработки ЦСИ.

Рис. 3.12. Номинальная функция преобразования ЦСИ.

Рис. 3.13. Формирование реальной погрешности ЦСИ.

В аналоговых СИ числовое значение результата измерения определяет оператор (снимает показания, производит округление и записывает результат значащих цифр от полученных чисел). При этом возникает субъективная ошибка определения.

В ЦСИ операция округления производится самим СИ, и ошибка этой операции относится к методической погрешности. Одновременно с округлением ЦСИ осуществляет квантование сигнала путем сравнения его с определенным уровнем. Таким образом, линейное ЦСИ есть квантователь непрерывной измеряемой величины и его номинальная характеристика преобразования имеет вид.

где N — значение выходной величины ЦСИ (целое число); х — значение измеряемой величины.

При квантовании число N должно быть таким, чтобы выполнялось неравенство.

означающее, что любое значение х, попавшее в этот интервал, округляется до значения N.

Абсолютная погрешность квантования, приведенная ко входу, составит Д_к = Мд — х, а к выходу —

Графически функция Д_к = /(х) приведена на рис. 3.14, а. Поскольку х — величина случайная, то и Д_к — тоже случайная величина, как правило, с равномерным законом распределения (рис. 3.14, б). Погрешность квантования является центрированной (с математическим ожиданием, равным нулю) случайной величиной. Предельное значение ее [Д_к] = 0,5д и СКО.

Рис. 3.14. Погрешность квантования ЦСИ.

Погрешность квантования является аддитивной погрешностью, так как абсолютное се значение не зависит от того, в какой части диапазона находится х. Погрешность квантования контролю не подлежит.

Относительная погрешность квантования.

а приведенная погрешность квантования.

Отсюда можно получить выражение для определения необходимого числа разрядов.

Например, для ЦСИ с десятичным отсчетом при у_к = 0,5, 0,05 и 0,005% необходимо иметь соответственно 2, 3 и 4 десятичных разряда, а для двоичного ЦСИ — 7 (2^{[1][2][3][4][5][6][7]} = 128), 10 (2^[8] = 1024) и 14 (2^[8] = 16 384) двоичных разрядов.

Для частотно-импульсных ЦСИ, т. е. измеряющих частоту, время, фазу и т. п., характерна погрешность несинхронизации, также относящаяся к методическим. В таких СИ результат измерения N получают подсчетом числа импульсов периодического сигнала за интервал времени. При измерении интервала времени Т_х образцовой является частота/₀ импульсов, а при измерении частоты /о образцовым является интервал времени Т₀ (рис. 3.15).

При измерении интервала времени Т_х функция преобразования ЦСИ.

Поскольку в таких СИ то.

Очевидно, что если время ?_н = 0, 5Т₀, то погрешность несинхронизации А_г = 0 и методическая погрешность будут иметь только одну составляющую — погрешность квантования (см. рис. 3.14, а).

При синхронизации без задержки ?_н = 0 и А_г = —0,5<�у = -0, 5Т₀. В этом случае методическая погрешность Д_м = Л_к + А, (рис. 3.16, а) с равномерной плотностью /_Д||(^) распределения (рис. 3.16, б).

Рис. 3.16. Погрешность квантования при отсутствии погрешности несинхронизации ЦСИ.

При отсутствии синхронизации время ?_н и погрешность Д_к становятся случайными величинами и Д_м расположена в границах (заштрихованы), показанных на рис. 3.17, а.

Рис. 3−17. Методическая погрешность ЦСИ при отсутствии синхронизации.

Поскольку ?_н — случайная величина с равномерной плотностью и погрешность квантований ?_к — тоже случайная величина с равномерной плотностью, то их композиция дает треугольный закон (Симпсона) с предельным значением погрешности Д_м = г/ и СКО с_г = 0,4 к/.

При цифровом измерении частоты /х

Так как # = 1 / Т₀(Т₀ — предел образцовой частоты /₀), то.

Для обеспечения округления необходимо вводить задержку при синхронизации на значение ?_п = 0,5Г_Г Если в СИ предусмотрена такая регулируемая задержка, то Д? = 0.

При синхронизации (когда ?_п = 0) показание, например, частотомера может быть только заниженным, а погрешность Д? = —0,5<�у = -0,5# является систематической. Методическая погрешность соответствует рис. 3.16, а. При отсутствии синхронизации возникает случайная погрешность несинхронизации — и методическая погрешность будет иметь вид, как на рис. 3.17, б.

Поскольку погрешности квантования и синхронизации присущи принципу работы цифрового СИ, то они отнесены к разряду методических, а не инструментальных.

Для оценки инструментальной погрешности ЦСИ разобьем шкалу идеального линейного квантования на строки, равные номинальному значению <7 (верхняя часть рис. 3.18, а). Цифровому значению соответствует некоторая область (так как реально число округляется) значений измеряемой величины х. Эта область находится между уровнями (к — 0,5)# и (А + 0,5)#. Считаем, что /г-й точке квантованной шкалы соответствует значение измеряемой величины, равное (/? + 0,5)#.

В реальном квантователе (нижняя часть рис. 3.18, а) значения ступеней квантования могут не только отличаться от номинального #, но и быть неравными между собой. Тогда действительные значения уровня /г-й точки шкалы (рис. 3.18, б)

где #₀, #, — действительные значения ступеней квантования в точках 0 и { соответственно.

Таким образом, разность между действительным и номинальным значениями рассмотренных уравнений есть инструментальная погрешность.

Графическая интерпретация суммирования методической и инструментальной погрешностей ЦСИ приведена на рис. 3.19, а, а функции погрешности — на рис. 3.19, б.

Рис. 3.18. К оценке инструментальной погрешности ЦСИ.

Рис. 3.19. Нормальная и реальная функции преобразования (а) и функция погрешности (б) АЦП Составляющая погрешности из-за квантования пренебрежительно мала, если предел допускаемой основной погрешности (Aq_p/q) > 3,3.

Для сравнения следует принять во внимание, что при использовании аналоговых приборов квантование, но уровню происходит при считывании показаний человеком-оператором. Считывание показаний производится с погрешностью 0,2—0,3 от предела допускаемой основной погрешности. Поэтому при Д_0Р> (3—5)# метрологическое различие между аналоговым и цифровым СИ стирается.

При оценке инструментальной составляющей возможна вариация Я показаний ЦСИ при подходе к заданной точке х снизу и сверху. Эта вариация обусловлена наличием в конструкциях ЦСИ релейных элементов (реле, компараторов, усилителей и т.н.), дающих остаточные сигналы в виде гистерезиса. Поэтому для ЦСИ вариацию показаний принято назы;

о вать погрешностью, А _н гистерезиса Я (рис. 3.20). Тогда составляющая статическая систематическая погрешность Д_ст принимается равной в реальном ЦСИ систематической составляющей его инструментальной погрешности, выраженной через вариацию со СКО а_н = 0,29Я по формуле.

о о где, А «и, А _н — нижнее и верхнее значения погрешности.

Рис. 3.20. Гистерезис ЦСИ.

Вариация учитывается лишь в случае, если Я² > 0,1#² или Н_0Р> 0,62#. Случайная составляющая основной статической погрешности.

или

Величину CKO случайной составляющей а? инструментальной погреш;

А".

пости найдем следующим образом. Пусть при нормальном законе ее распреде;

о.

ления Д_и = За_д. С другой стороны, известно, что Тогда, откуда о_Q =0,1 q.

Ди Таким образом, с учетом формулы (3.20).

Вообще случайная составляющая учитывается, если

или ст₀ >0,18#. Тогда окончательно интервал, в котором с заданной веро;

д ятностью Р находится основная статическая погрешность Д₍._т ЦСИ, определяется неравенством.

Соответственно для Р = 0,99; 0,95 и 0,90 коэффициент К_р = 2,57; 1,96 и 1,65.

В качестве примера рассмотрим оценку погрешности аналого-цифрового преобразователя (АЦП), используемого при виброакустической диагностике. Среди АЦП можно выделить: погрешность квантования; погрешность смещения нуля; погрешность коэффициента передачи; погрешность, вызываемую нелинейностью характеристики квантования; температурную погрешность.

Из динамических погрешностей следует учитывать погрешности, обусловленные частотой дискретизации и апертурным временем — интервалом временной неопределенности задержки момента отсчета.

Результирующая погрешность Д^ АЦП представляет собой сумму статических Д_ст и динамических Д^ погрешностей:

а ее дисперсия равна.

Шаг квантования определяется как.

где зг_тах, x_min — максимальная и минимальная амплитуда сигнала; п — число разрядов АЦП.

Погрешность квантования с равномерным шагом принимается равной Д_к = .

Энергетический спектр шума квантования в интервале частот входного сигнала 0 …/, определяется по формуле.

где /_; — частота дискретизации.

Основными компонентами результирующей статической погрешности являются высокочастотная и низкочастотная компоненты. Высокочастотной компонентой является центрированная составляющая результирующей погрешности, характеризующаяся взаимно независимыми значениями. Низкочастотной компонентой является математическое ожидание результирующей погрешности с высокой степенью корреляции ее значений между собой.

Основной характеристикой высокочастотной погрешности является ее СКО а, а низкочастотная погрешность, А является функцией параметров входного вибросигнала х и внешних возмущений У.

Оценка значений, А и, а в каждой точке пространства сигнала и воздействий производится по формулам:

где М — математическое ожидание приведенной ко входу АЦП результирующей погрешности; х₀ — образцовое значение преобразуемого вибросигнала; (/ = /, 2,…, т) — выборка значений выходной координаты АЦП при входном сигнале х.

Погрешность 8_Г установки значения х₀ прецизионным АЦП должна удовлетворять условию.

Искомое значение, А в данной точке пространства аргументов х, со находится как среднее значение А_; по всем г-м точкам.

Среднее квадратичное значение оценки погрешности определяется как.

где— дисперсия образцового сигнала; т — объем выборки.

Численные значения параметров 8_Л., а₍₎ и т устанавливаются в стандартах или технических условиях на конкретные типы АЦП.

Приведенное значение дисперсии результирующей погрешности АЦП с равномерной шкалой квантования для случайного сигнала с нормальным распределением спектра при М = 0 определяют по формуле

где  — дисперсия производной процесса; к_х (т) — вторая про.

изводная корреляционной функции процесса х (1); у- _ _время преобразования; — максимальная частота входного сигнала.

При неизвестной корреляционной функции значение дисперсии динамической погрешности АЦП для вибросигнала с нормальным распределением определяется по формуле.

Значение дисперсии динамической погрешности для случайного сигнала с равномерным распределением следует определять как.

Максимальная величина погрешности датирования равна где ?_ап — апертурное время.

В наихудшем случае инструментальная погрешность допускается равной погрешности квантования. Основные параметры АЦП должны выбираться с учетом статистических свойств входного вибросигнала в соответствии с частными техническими условиями на конкретные типы преобразователей.

Для вибросигнала, имеющего нормальное распределение и корреляционную функцию вида.

где а_х — дисперсия входного вибросигнала, выполняется условие.

где а — время преобразования для одного разряда (быстродействие); п — число разрядов.

Параметры выходных сигналов АЦП должны соответствовать требованиям ГОСТ 2.104−2006.

Пример 3.3. Определить приведенную результирующую погрешность последовательного АЦП с равномерной шкалой квантования для случайного сигнала с нормальным распределением спектра, нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией вида (3.23) в пределах от х_ПШ| = 0,1 В до д;_тах = 10 В и максимальной частотой Т_тах = 500 Гц при числе разрядов п = 7 и быстродействии а = 10 ⁷ с.

Решение. Для последовательного АЦП Т_пр = ап. Тогда по формуле (3.22) находим

• [1] Рис. 3.15. Погрешность несинхронизации ЦСИ
• [2] Время несинхронизации tK — это время между моментами, соответству
• [3] ющими началу интервала и переднему фронту одного (очередного) из счет
• [4] ных импульсов. Очевидно, при измерении Тк это время находится в пределах 0 < ?" < 1//0, а при измерении частоты fx — 0 < t" < 1//к.
• [5] Синхронизация в цифровых СИ может быть организована по-разному.
• [6] Если она вообще не предусмотрена, то ?" — случайное время, а следовательно, и погрешность несинхронизации — случайная величина.

  Введение

  м

• [7] синхронизации эта погрешность либо исключается, либо становится систе
• [8] матической.
• [9] матической.