Модели экспоненциального сглаживания

Универсальной формулы для вывода дисперсии для всех моделей экспоненциального сглаживания не существует, поэтому их нужно рассматривать по отдельности. В зависимости от учета ошибок, а также типа тренда все модели ETS можно разделить на классы^[1], представленные в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Классы моделей по методу расчета дисперсии

Классы объединяются по следующему принципу:

• 1. Класс 1 — линейные модели с аддитивной ошибкой.
• 2. Класс 2 — линейные модели с мультипликативной ошибкой.
• 3. Класс 3 — модели с линейным трендом, но мультипликативной ошибкой и сезонной компонентой.
• 4. Класс 4 — модели с мультипликативной ошибкой и трендовой компонентой и либо без сезонности, либо с мультипликативной сезонностью.
• 5. Класс 5 — тяжело оцениваемые модели с сочетанием аддитивных и мультипликативных элементов.

Аналитические формулы для дисперсии можно вывести только для моделей первых трех классов. Для последних двух классов рекомендуется пользоваться непараметрическими методами. Модели класса 5 могут вызывать численные сложности при построении долгосрочных точечных прогнозов.

Рассмотрим, как можно рассчитать дисперсию для моделей из первого класса, на примере модели Брауна.

В соответствии с формой коррекции ошибок из табл. 7.6 будущее значение yt по ETS (?,?,?) на h шагов вперед может быть записано в виде Чтобы корректно рассчитать дисперсию, далее делается предположение о том, что модель (9.20) лежит в основе процесса, а значит, вплоть до шага h уровень будет адаптироваться к ошибкам. Первое уравнение из системы переписывается в виде Теперь подставим в (9.21) вместо lt+h_1 значение, рассчитанное по второму уравнению из системы (9.20):

Продолжая итеративно подставлять вместо It расчетные значения, полученные на основе второго уравнения в (9.20), получим.

(9.22).

Затем рассчитаем условную дисперсию (9.22) с учетом наших базовых предположений:

(9.20).

(9.21).

(9.23).

Формула (9.23) считается наиболее корректной для расчета дисперсии в модели Брауна. Использование вместо нее просто дисперсии ошибок некорректно, так как такое допущение не учитывает структуру экспоненциального сглаживания.

На основе полученной дисперсии можно легко рассчитать прогнозный интервал для модели Брауна:

(9.24).

Рассмотрим, каким получится прогнозный интервал для метода Брауна на примере ряда № 41. Мы уже делали точечный прогноз для этого ряда, на рис. 9.7 показаны точечный и интервальный прогнозы по модели Брауна с первым методом задания стартового значения.

Рис. 9.7. Ряд данных № 41 (сплошная линия с точками), точечный (сплошная линия) и интервальный (пунктирные линии) прогнозы по нему, полученные по методу Брауна.

Можно обратить внимание на то, что первое прогнозируемое фактическое значение не попало в доверительный интервал, хотя верхняя граница оказалась достаточно близко к нему. Все же остальные значения, вплоть до значения на 1994;й г., оказались лежащими внутри интервала. Правда, сам интерват оказался очень широким, таким, что границы на 1994;й г. получились (2284; 8589). Однако, если бы он был у? же, то, скорее всего, некоторые значения просто не попали бы в него. Здесь мы сталкиваемся с классической проблемой: в слишком узкие интервалы попадает меньшее число значений, что приводит к недооценке показателя, в то время как слишком широкие границы не несут полезной информации.

Дисперсии по другим моделям класса 1 выводятся по аналогии с дисперсией для модели Брауна. В табл. 9.2 приведены параметры, позволяющие рассчитать дисперсию для каждого из методов классов 1 и 2.

Таблица 9.2

Параметры методов классов 1 и 2, использующиеся при расчете дисперсии

Модель.	Ст.

Примечание: d? = 1, если? = 0 и d? = 0 во всех остальных случаях.

Для расчета дисперсии моделей класса 1 используется формула.

(9.25).

Можно заметить, что дисперсия для моделей класса 1 зависит от срока прогнозирования. Причем если в модели есть трендовая компонента, то эта зависимость носит нелинейный характер — интервалы в таком случае будут быстрее расширяться, нежели в случае отсутствия такой компоненты.

Из-за того, что мультипликативная модель экспоненциального сглаживания отличается от аддитивной лишь формой ошибки, параметры, приведенные в табл. 9.2, могут быть с успехом применены для расчета дисперсий моделей класса 2. Однако, очевидно, что сама формула должна отличаться от (9.25)^[2]:

(9.26).

где.

(9.27).

Как мы уже обсуждали, аддитивная модель отличается от мультипликативной лишь тем, как строится доверительный интервал — точечные прогнозы в них абсолютно идентичны.

Посмотрим на примере ряда № 41, как различаются интервальные прогнозы по модели ETS(A,N,N) и ETS (М,N,N) (рис. 9.8).

Рис. 9.8. Ряд данных № 41 (сплошная линия с точками), точечный (сплошная линия) и интервальный (серые области, соответствующие 95% и 80%) прогнозы по нему, полученные по методу Брауна.

Как видим, интервалы, построенные для модели с мультипликативной ошибкой, оказались значительно шире интервалов по модели с аддитивной ошибкой, причем, в общем-то, неоправданно шире — уже на 1992 г. нижняя граница уперлась в отметку «О», а верхняя перевалила за 10 000, что совершенно не информативно, учитывая точечный прогноз примерно в 5500. Однако, если в данном случае прогнозный интервал по модели Брауна получился слишком широким, это не говорит о том, что для другого ряда с другой моделью он так же будет шире интервала с аддитивной ошибкой. В каждом конкретном случае нужно принимать индивидуальное решение о том, какую модель выбрать.

Последний класс моделей экспоненциального сглаживания, для которых мы рассмотрим метод построения параметрических прогнозных интервалов, — это модели класса 3. Дисперсия для этих моделей должна учитывать мультипликативную сезонную составляющую и рассчитывается так, как это показано в табл. 9.3.

Таблица 9.3

Параметры методов класса 3, использующиеся при расчете дисперсии

Модель.

Как видим, значения введенного параметра cj для моделей класса 3 совпадает со значениями для первых трех моделей классов 1 и 2. В столбце приведены формулы для расчета прогнозов по трендовой компоненте.

Формула расчета дисперсии для методов класса 3 выглядит несколько сложнее формулы (9.26) и имеет вид.

(9.28).

где.

(9.29).

Стоит заметить, что с помощью формул (9.28) и (9.29) для прогноза на период h > s можно получить лишь приблизительную оценку дисперсии. Более точные формулы более громоздки, однако при этом не дают значительного повышения точности прогноза.

• [1] Hyndman Rob J., Koehler Anne B., Ord,/. Keith, Snyder Ralph D. Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 2008. P. 76.
• [2] Hyndman Rob J., Koehler Ате В., Ord J. Keith, Snyder Ralph D. Указ. соч. C. 83.