Правило контранозиции. 
Математика: логика, теория множеств и комбинаторика

Это правило позволяет переформулировать предложение вида «Если А, то В». Рассмотрим такое предложение: Р = «Если четырехугольник является ромбом, то его диагонали перпендикулярны». Выясним, какие из следующих предложений равносильны данному предложению:

F = «Если четырехугольник не является ромбом, то его диагонали не перпендикулярны»;

Q = «Если диагонали четырехугольника нс перпендикулярны, то это нс ромб».

Для ответа на поставленный вопрос введем обозначения: А = «Четырехугольник является ромбом», В = «диагонали четырехугольника перпендикулярны». Тогда исходное предложение задастся формулой Л-«/?, предложение F-формулой, а предложение Q- формулой Построим таблицу истинности для этих формул.

Видим, что предложения Р и Q равносильны, а предложение F им не равносильно. Тот факт, что предложения Р и F имеют разный логический смысл, был замечен еще в пункте 1.3. Там были приведены примеры с другим содержанием, однако имеющие такую же логическую структуру.

Если вникнуть в содержание данного примера, то можно заметить, что предложение Р принимает истинное значение для любого четырехугольника, что следует из свойств ромба. Так как предложения Р и Q равносильны, то, нс задумываясь, можно утверждать, что предложение О всегда принимает истинное значение. А вот предложение F таким свойством не обладает. Можно привести пример четырехугольника с разными сторонами (то есть пример нс ромба), диагонали которого перпендикулярны. Приведите пример такого четырехугольника.

Сформулируем правило контрапозиции. Предложение «Если А, то В» равносильно предложению «Если не В, то не А»:

Пример 3.2.1. По правилу контрапозиции равносильны предложения: «Если натрий металл, то он пластичен» и «Если натрий не пластичен, то он не металл». •.

Пример 3.2.2. Переформулируем на основе правила контрапозиции предложение: «Если числа х и у четные, то сумма х+у — четное число».

Сразу заметим, что данное предложение истинно для любых целых чисел .V и у, так как, взяв произвольные четные числа х и у, будем иметь х=2п, у=2к, для некоторых целых чисел п и к. Тогда сумма чисел х и у будет иметь вид х+у = 2п+2к = 2(п+к) — четное число.

Данное предложение имеет вид импликации, посылка которой «Числах и у четные» является конъюнкцией высказываний «Число х четное» и «Число у четное». Учитывая это, введем обозначения:

А = «Число х четное»,.

В = «Числом четное»,.

С = «Сумма чисел х и у сеть четное число».

Тогда логическая структура предложения имеет вид АлВ^>С. По правилу контрапозиции эта формула равносильна 1С-«1(ЛлЯ). Построив отрицание к конъюнкции, получим формулу „]С—“» l4vT#.

Получили, чтоАлВ—>С = 1C—>АЛв.

Итак, исходное предложение равносильно следующему: «Если сумма х+у является нечетным числом, то хотя бы одно из чисел х или у является нечетным». •.

Заметим, что если бы в предыдущем примере мы нс поменяли союз «и» на союз «или», то получили бы неравносильное предложение: «Если сумма х+у является нечетным числом, то числа х и у нечетные». Эта импликация ложна, например, для чисел х=3, у=4 (сумма чисел равна 7, но число 4 четное), а исходное предложение, как было отмечено в самом начале, всегда истинно.

Пример 3.2.3. Докажем, что предложение «Некоторые нечетные числа делятся на 4» неверно.

Обозначим А (х) = «х- нечетное число», В (х) = «х делится на 4».

Сформулируем отрицание к исходному предложению: «Ни одно нечетное число не делится на 4». На языке формул отрицание имеет вид V* (Л (*)->ТД (л;)).

Преобразуем формулу А—>~в с помощью правила контрапозиции и закона двойного отрицания:

Поэтому формула V* (/4(*)-«~|#(дг)) равносильна V* (В (х) —«» U (*)). Тогда отрицание можно переформулировать следующим образом: «Любое число, делящееся на 4, является четным», что очевидно является истинным утверждением, так как любое число вида х=4п, где п — целое число, можно записать х=2(2п)=2к, где к=2п есть целое число. •.