Максимизация прибыли фирмой в долгосрочном периоде

Максимизируя прибыль, фирма добивается оптимального сочетания использования ресурсов. Поиск оптимального размера использования переменного ресурса при заданном объеме постоянного был рассмотрен выше. К геометрической интерпретации выбора фирмы в коротком промежутке времени мы еще вернемся, а пока обратимся к ситуации долговременного периода, когда все ресурсы можно рассматривать как переменные.

Считается, что в этом периоде фирма может выбрать любую комбинацию ресурсов в пределах своих бюджетных возможностей (в пределах, которые могут «раздвигаться»). Общие выплаты фирмы за все покупаемые ресурсы можно выразить формулой.

где п — количество видов разных ресурсов, используемых фирмой в производственном процессе; X_i — объем использования i-ro ресурса; Р₁ — цена г-го ресурса.

В рамках двухфакторной модели бюджетное ограничение выглядит как.

где W (или Pj) — рыночная цена труда; R (или Р_к) — текущая цена единицы капитала (например, рентные платежи за использование машин).

Линия уровня функции затрат называется изокостой (iso — равный, cost — стоимость). Изокостой называется линия, объединяющая все возможные комбинации двух ресурсов, покупка которых потребует от фирмы одинаковых денежных затрат.

Построенная в декартовых координатах (в неотрицательном ортанте), она отделяет область возможных финансовых затрат фирмы, т. е. все комбинации ресурсов, которые фирма в состоянии купить при сложившихся рыночных ценах на ресурсы и определенном уровне своего бюджета. Чем больше будет бюджет фирмы, т. е. чем больше денег она сможет потратить на покупку ресурсов (С₃> С₂> С_х), тем больше (при неизменных ценах на ресурсы) будет область ее возможных решений.

На рис. 8.7, а представлено семейство (карта) изокост фирмы при разных бюджетах и фиксированных ценах на ресурсы. При изменении соотношения цен на ресурсы изменится и угол (р) наклона изокост (рис. 8.7, б).

Рис. 8.7. Карта изокост в случае, когда цены на ресурсы неизменны (а) и когда они изменяются (б)

До сих пор мы негласно предполагали, что фирма-производитель не может повлиять на рыночные цены ресурсов, меняя объемы их покупки. Это верно, когда фирма на рынке находится в ситуации совершенной конкуренции, тогда изокосты представляют собой прямые линии. Их наклон (естественно, неизменный на всем протяжении) демонстрирует постоянную норму денежного замещения одного ресурса другим.

Но при определенных обстоятельствах (в рамках некоторых рыночных структур) производитель, чтобы привлечь дополнительные единицы нужных ему ресурсов, вынужден поднять цену на закупаемый ресурс. В иных ситуациях уже поставщики ресурсов готовы предоставить фирмам-покупателям существенные ценовые скидки при больших объемах их закупок.

И в том, и в другом случае речь будет уже идти не о прямой, а о кривой изокосты. Только в первом случае изокоста будет выпукла от начала координат, а во втором — вогнута.

Будем, однако, считать, что фирма не может повлиять на цену ресурсов и семейство изокост представляет собой набор прямых линий.

Поскольку объем производства при нулевом использовании одного из необходимых ресурсов обычно также равен нулю (т.е. Q = f (K, 0) = /(0, L) = 0), постольку экономический смысл имеют только такие комбинации затрат ресурсов, когда К > 0 и L > 0.

Если в качестве производственной рассматривать стандартную функцию Кобба — Дугласа, предполагающую строгую выпуклость изоквант, то очевидно, что при любом заданном соотношении цен на ресурсы равновесие производителя, при котором он минимизирует свои затраты, должно отвечать равенству:

Экономический смысл данной пропорции состоит в том, что отдача (в виде предельного продукта) на рубль, потраченный на покупку любого ресурса, в равновесии должна быть одинаковой. Данное условие является необходимым для нахождения оптимального решения фирмы, но недостаточным, так как подходит для любого уровня затрат и любого уровня выпуска при заданных ценах. Для нахождения оптимума фирмы (максимума прибыли) одна из функций, определяющих прибыль, должна рассматриваться как целевая, а вторая — как ограничивающая.

В долговременном периоде, когда можно изменять объемы обоих используемых ресурсов, задача максимизации прибыли определяется как задача на нахождение глобального абсолютного максимума. Точку глобального максимума надо искать среди точек локального (частичного) максимума.

Условием первого порядка нахождения данных точек является поиск таких комбинаций затрат ресурсов, которые удовлетворяют системе уравнений, каждое из которых представляет собой первую частную производную по какому-то ресурсу, приравненную к нулю:

Учитывая, что п (К, L) = P^Y? /(К, L) — (W? L + R? К), систему уравнений можно переписать так:

Комбинация ресурсов (К_е, L₍), которая является решением задачи максимизации прибыли, называется локальным (частичным) рыночным равновесием фирмы^[1].

В трехмерном пространстве, как отмечалось выше, производственная функция двух переменных ресурсов представляет собой «холм» (или, иначе, «поверхность, выпуклую вверх»). Следовательно, речь идет о нахождении именно максимума прибыли. Найденная в результате решения системы уравнений оптимальная комбинация затрат ресурсов (К_е, L_e) при подстановке превращает последнюю систему уравнений в систему тождеств:

Разделив первое тождество на второе, имеем.

Полученное условие рыночного равновесия как раз и доказывает, что в точке локального максимума (К_е, L_e) соотношение предельных производительностей используемых ресурсов должно быть равно отношению рыночных цен на оба ресурса.

Это условие легко переносится на случай производственной функции с любым числом переменных ресурсов:

п г Л№, МР₂ МР_п

Преобразуя последнее равенство, получим — =— = … =-—.

Л² ?п

Последнее означает, что оптимум фирмы будет достигнут в том случае, когда предельные продукты всех используемых ресурсов, взвешенные по их ценам (иначе — удельные предельные производительности), будут равны.

Если это условие не соблюдается, т. е. удельные предельные производительности ресурсов не равны, значит, равновесие не достигнуто и надо менять структуру расходов в пользу того ресурса, чья удельная производительность в данный момент выше, за счет уменьшения расходов на те ресурсы, чья удельная предельная производительность сейчас ниже. При достижении указанного равенства будет достигнут и оптимум фирмы.

" МРт W МРг МР_К /.

Если-— < — -— < —, то выпуск может быть увеличен (при тех.

МР_К RWR ^{У У F}

же затратах) путем замещения дополнительным капиталом некоторого.

МР, W МРг МР_К

количества труда. При наличии неравенства -— >— -— >-—.

^ ¹ МР_К R W R

производство может возрасти за счет замещения части капитала дополнительным трудом. (Выравнивание в последнем случае может совершиться, например, за счет снижения предельной производительности труда и роста величины предельного продукта капитала.).

Соотношение предельных продуктов труда и капитала (MRTS_lK) определяет, как было установлено выше, угол наклона изокванты. Соотноше- W

ние — — угол наклона изокосты. Следовательно, в точке оптимума фирмы наклоны изокванты и изокосты должны совпадать. Это возможно только в случае, если изокванта и изокоста касаются друг друга в точке локального оптимума.

Найденные при решении системы уравнений оптимальные значения труда и капитала (Ь_е> К_е) будут меняться при изменении цен на ресурсы и на готовую продукцию. Экономически эффективными станут другие технически эффективные варианты производства. Соответственно, Ь_е и К_е можно рассматривать как функции условного спроса на ресурсы от цен на готовую продукцию и цен на ресурсы, т. е.

Подставив полученные выражения в производственную функцию Y = = f (K, I), будем иметь Y=f[L^D(P^Y, W, R), K^D(P^Y, R, W)]. Данное выражение называется функцией предложения выпуска от цен на готовую продукцию и ресурсы: S (P^Y, R, W).

Алгоритм поиска фирмой оптимальной комбинации ресурсов, обеспечивающей ей максимум прибыли, зависит от того, что выступает в качестве ограничения. Если фиксируется объем затрату то максимум прибыли может быть получен при максимизации выпуска. Формально эту задачу можно записать так:

Наглядная геометрическая интерпретация этой задачи представлена на рис. 8.8.

Рис. 8.8. Поиск фирмой оптимального выпуска и оптимальной комбинации затрат ресурсов при ограничении на уровень затрат.

Комбинации ресурсов К и L, соответствующие точкам А, В, Е, F, G, лежат на одной и той же изокосте и, значит, будут стоить фирме одинаковых денег С при заданных ценах.

Замещая в пределах фиксированного уровня денежных затрат один ресурс другим (т.е. двигаясь по изокосте), фирма может переходить на более высокие изокванты, соответствующие большим уровням выпуска.

Самой предпочтительной (оптимальной) является комбинация ресурсов в точке E (L_e, К_е), поскольку именно она способна обеспечить фирме максимально возможный (из доступных) уровень выпуска.

Поскольку изокванты у нас «гладкие» и выпуклые к началу координат, постольку точка оптимума Е будет точкой касания одной из изоквант с фиксированной изокостой.

Изокванты, не имеющие общей точки с данной изокостой, не подходят, хотя и отражают более высокий уровень выпуска. Если уровень затрат изменится, то изменится и точка оптимума. При тех же ценах на ресурсы изокосты, отражающие более высокий уровень затрат, будут располагаться правее и выше исходной, оставаясь параллельными ей. Множество точек локального рыночного равновесия, соответствующих различным значениям С, образуют линию, которую определяют как долговременную линию развития фирмы (рис. 8.9, а).

Если производственная функция однородна, то линия оптимального развития фирмы определяется лучом, исходящим из начала координат, — линией роста. Оптимальный путь развития фирмы (рис. 8.9, 6) может проходить как по одной линии роста (ОЛ), так и по другой (ОВ). Какой путь выберет фирма — зависит от соотношения цен на ресурсы.

Теперь рассмотрим другой вариант решения задачи максимизации прибыли, когда требуется обеспечить заданный (фиксированный) объем выпуска, минимизируя затраты.

Рис. 8.9. Выбор фирмой долговременной линии развития в общем случае (а) и в случае однородной производственной функции (б).

В этом случае задача принимает вид.

Решением задачи минимизации затрат, как и в предыдущем случае, будет общая точка (точка касания) изокосты и изокванты. Однако путь к ней будет иным. Рассмотрим график на рис. 8.10.

Рис. 8.10. Поиск фирмой оптимальной комбинации затрат при заданном.

объеме выпуска Поскольку объем выпуска фиксирован, производитель, минимизируя затраты, должен двигаться по изокванте (от точки М к точке N и к точке /:). Комбинации ресурсов М и N столь же технически эффективны, как и комбинация в точке Е, так как они принадлежат к одной изокванте. Но первые две комбинации неэффективны в экономическом смысле. Комбинация в точке Е может быть приобретена фирмой за наименьшую сумму денег. (Точка Е располагается на самой нижней из изокост, способных обеспечить достижение заданного уровня выпуска.).

Если изменить заданный объем выпуска, то изменится и оптимальная комбинация ресурсов, обеспечивающая иной уровень выпуска. Множество таких оптимальных точек образует линию долговременного оптимального развития фирмы, аналогичную линии на рис. 8.9. Ее можно охарактеризовать как континуум точек оптимальных комбинаций ресурсов для любого возможного объема выпуска при неизменных ценах на ресурсы. Она аналогична линии «доход — потребление» из теории поведения потребителя. Ее можно назвать также линией «расходы — выпуск» фирмы.

Изменение эффективной комбинации ресурсов может произойти не только вследствие изменения величины расходов на их покупку, но и по причине удорожания (или удешевления) одного из них. Конечно, препятствием к частичному замещению одного ресурса другим могут стать технологические ограничения (важно знать показатель эластичности замещения а). Но кроме того, в коротком периоде возможности расширения использования отдельных элементов капитала (или труда) также могут быть ограничены естественными причинами (в том числе элементарной нехваткой или длительным сроком строительства). Однако считается, что в длительном периоде у фирмы нет препятствий по замене подорожавшего ресурса относительно подешевевшим. В этом случае переход от одной оптимальной комбинации ресурсов к другой будет происходить по линии «цена ресурса — выпуск» (рис. 8.11).

Рис. 8.11. Влияние изменения цены ресурсов на выбор фирмы и линия «цена ресурса — выпуск»

Общий результат от изменения цены ресурса, как и в теории потребления, может быть разделен на две части — два эффекта: эффект замены и эффект выпуска (аналог эффекта дохода). Следующий график (рис. 8.12) демонстрирует возможность такого разложения (по методу Хикса) в случае повышения цены на труд.

Рис. 8.12. Разложение изменения в объеме использования подорожавшего ресурса на эффекты замены и выпуска.

После повышения цены на труд с до W₂ изокоста уровня С, проворачиваясь вокруг точки М_у займет положение MG. Затраты на труд в оптимуме сократятся с L_x до L₂. Этот общий эффект, вызванный, во-первых, изменением в соотношении цен на ресурсы (эффект замены), а во-вторых, сокращением выпуска (эффект выпуска) с Q₂ до Q_{> можно разложить на составляющие путем проведения дополнительной изокосты при новом соотношении W? W,.

цен на ресурсы (—- вместо —Ее назначение — снять эффект сокращения R R

выпуска для оценки сокращения занятости только вследствие изменения соотношения цен на ресурсы (эффект замены). Вспомогательная изокоста показывает, на сколько надо было бы увеличить расходы фирмы, чтобы при подорожании труда производить исходный объем готовой продукции при новой оптимальной комбинации ресурсов в точке ?₃ (L₃, К₃). В этом случае использование труда сократилось бы с L, только до L₃ (эффект замены). Дальнейшее сокращение занятости с L₃ до Ь₂ — это результат действия эффекта падения выпуска при отсутствии роста затрат фирмы.

• [1] Данную комбинацию ресурсов можно также назвать критической точкой функции прибыли к (К, L), поскольку она обращает в нуль первые частные производные этой функции.