Случайный вектор и его количественные характеристики

Понятие многомерной случайной переменной и функции регрессии

Случайным вектором или многомерной случайной переменной называется упорядоченный набор случайных величин, который обозначается как

Примером такой переменной в экономике может, в частности, служить переменная, характеризующая макроэкономическое состояние государства. Ее компонентами могут быть  — уровень ВВП,  — объем инвестиций,  — суммарный объем производства и т. д.

Функцией распределения многомерной случайной переменной называется функция определяет вероятность появления совместного события , т. е.

(3.7).

Совместной плотностью распределения вероятностей многомерной случайной переменной^[1] есть смешанная производная от функции распределения (3.7).

(3.8).

Если случайная переменная у получает свое конкретное значение с переменной х, то можно ввести понятие условного закона распределения (условной функции плотности вероятностей) переменной у при фиксированном значении переменной х или при условии, что другая переменная лежит в некотором фиксированном интервале.

Условные плотности вероятностей вычисляются как.

(3.9).

Имея условные функции плотностей вероятности, можно вычислить значения условных количественных характеристик: условного математического ожидания и условной дисперсии величин х и у:

Условные количественные характеристики случайных переменных (x, у) представляют собой функции соответственно у их.

Любую случайную переменную всегда можно представить в виде суммы двух слагаемых: константы, например математического ожидания этой переменной, и случайного возмущения с нулевым средним значением:

(3.10).

Такое разложение случайной величины называется регрессионным, а методы получения этих разложений получили название регрессионного анализа.

В случае многомерной случайной переменной (случайного вектора) используется понятие вероятностной (стохастической) зависимости между случайными переменными и понятие функции регрессии.

Зависимость между случайной переменной и случайным вектором называется стохастической, если каждому значению случайного вектора ставится в соответствие условное распределение переменной.

Функцией регрессии у на x называется условное математическое ожидание случайной переменной у при любом заданном значении переменной х и обозначается как Е (у|х).

Это позволяет представить стохастическую зависимость между переменными в виде.

(3.11).

Здесь и — случайная переменная, имеющая пулевое среднее значение при всех возможных значениях многомерной переменной

В эконометрике функция регрессии интерпретируется как закон изменения эндогенной переменной у в ответ на изменение случайного вектора (экзогенных переменных) .

• [1] Для простоты изложения в дальнейшем будем все рассматривать на примере двумерной случайной переменной п = 2.