Теорема об изменении кинетической энергии

Кинетическая энергия механической системы складывается из кинетических энергий всех её точек:

Дифференцируя каждую часть этого равенства по времени, получим.

Воспользовавшись основным законом динамики для к-й точки системы m_k2i_k = Fj., приходим к равенству.

Скалярное произведение силы F на скорость v точки её приложения называют мощностью силы и обозначают Р:

Используя это новое обозначение, представим (11.6) в следующем виде:

Полученное равенство выражает дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии: скорость изменения кинетической энергии механической системы равна сумме jмощностей всех действующих на систему cm.

Предс тавив производную f в (8.5) в форме дроби —— и выполнив.

dt

затем разделение переменных, получим:

где dT — дифференциал кинетической энергии, т. е. её изменение за бесконечно малый промежуток времени dr, dr_k = _kdt — элементарное перемещение к-й точки системы, т. е. перемещение за время dt.

Скалярное произведение силы F на элементарное перемещение dr точки её приложения называют элементарной работой силы и обозначают dA:

Используя свойства скалярного произведения можно представить элементарную работу силы также в виде

или.

Здесь ds = dr — длина дуги траектории точки приложения силы, соответствующая её элементарному перемещению с/г; а — угол между направлениями вектора силы F и вектора элементарного перемещения c/r; F" F_y, F, — проекции вектора силы F на декартовы оси; dx, dy, dz — проекции на декартовы оси вектора элементарного перемещения с/г.

С учетом обозначения (11.9) равенство (11.8) можно представить в следующей форме:

т.е. дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех сил, действующих на систему. Это равенство, так же как и (11.7), выражает дифференциальную форму теоремы об изменении кинетической энергии, но отличается от (11.7) тем, что использует не производные, а бесконечно малые приращения — дифференциалы.

Выполняя почленное интегрирование равенства (11.12), получаем.

где в качестве пределов интегрирования использованы: 7₀ — кинетическая энергия системы в момент времени ?₀; 7) — кинетическая энергия системы в момент времени t_x.

Определенные интегралы по временному отрезку [f₀, стоящие под знаком суммы в правой части (11.13), легко преобразуются в криволинейные интегралы по траекториям точек системы. Для этого в выражении для элементарной работы (11.10) достаточно представить силу F и угол а как функции дуговой координаты s, определяющей положение точки на её траектории (рис. 11.2):

а пределы интегрирования заменить на л₀ = л (Г₀) и 5, = s (t,).

Рис. 11.2.

Такой криволинейный интеграл называют работой силы F на конечном перемещении точки её приложения (из начального положения М_а в конечное — М) и обозначают ^СГ)_д#0__>Л/] или A (F):

Замечание 1. Для вычисления работы иногда удобнее использовать не дуговую параметризацию траектории M (s), а координатную M (x{t), у (/), z (f)). В этом случае для элементарной работы естественно взять представление (11.11), а криволинейный интеграл представить в виде:

С учетом обозначения (11.14) работы на конечном перемещении равенство (11.13) принимает вид.

и представляет собой конечную форму теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.

Теорема 3. Изменение кинетической энергии механической системы при её перемещении из начального положения в конечное равно сумме работ всех сил, действующих на точки системы на этом перемещении.

Замечание 2. В правой части равенства (11.16) учитываются работы всех сил, действующих на систему, как внешних, так и внутренних. Тем не менее существуют такие механические системы, для которых суммарная работа всех внутренних сил равна нулю. Эго гак называемые неизменяемые системы, у которых расстояния между взаимодействующими материальными точками не меняются. Например, система твердых тел, связанных шарнирами без трения или гибкими нерастяжимыми нитями. Для таких систем в равенстве (11.16) достаточно учесть лишь работы внешних сил, т. е. теорема (11.16) принимает вид: