Экономически значимые примеры систем одновременных уравнений

Здесь мы рассмотрим классические примеры систем уравнений, которые подробно изучаются в стандартных экономических курсах.

1. Кейнсианская модель формирования доходов:

где К, С, / соответственно представляют собой совокупный выпуск, объем потреблений и инвестиций. Здесь / рассматривается как экзогенная переменная, а У — как эндогенная. Хорошо известно, что такая модель описывает закрытую экономику без государственного вмешательства.

Модель содержит одно поведенческое уравнение (9.28) и одно тождество (9.29).

Очевидно, модель (9.28)—(9.29) является идентифицируемой. Ее приведенная форма имеет вид:

2. Модель формирования спроса и предложения.

В простейшем виде эта модель рассматривалась в § 9.1. Здесь мы рассмотрим некоторые ее модификации.

Учет тренда. Если предположить, что привычки медленно меняются со временем, то в уравнение формирования спроса следует добавить временной тренд. Тогда модель будет иметь вид:

Приведенная форма записывается в виде:

откуда следует, что система не является идентифицируемой. В то же время параметр рз оказывается сверхидентифицируемым. В самом деле, записав уравнения регрессии в виде.

е /.

легко заметить, что — и — дают оценку Р5.

b с

Учет налога. Предположим теперь, что продавцы товара облагаются специальным налогом Т. Величина налога меняется со временем и в выборке представлена временным рядом, т. е. является экзогенной переменной. Тогда уравнение спроса не меняется (спрос определяется лишь одной эндогенной переменной — рыночной ценой товара), а в уравнение предложения добавляется соответствующий член. Тогда модель примет вид:

Очевидно, в этом случае модель будет идентифицируемой. Предположим теперь, что доход / считается постоянным на протяжении длительного времени. Тогда в уравнении спроса следует исключить переменную /, и получатся уравнения:

Система (9.33)—(9.34), очевидно, не является идентифицируемой. К ней может быть применен метод инструментальных переменных. При этом одна экзогенная переменная Г, рассматриваемая как инструментальная, позволяет, вообще говоря, идентифицировать только уравнение (9.33), в которое она не входит. Для идентификации (9.34) требуется «внешняя» инструментальная переменная.

Другим способом получить идентифицируемое уравнение формирования предложения оказывается ограничение на структурные коэффициенты: Ps=^—р. Смысл этого ограничения очевиден: мы считаем, что продавцы исходят из суммы, которую они получают после уплаты налога, т. е. Р*=Р~Т. Тогда система может быть переписана в виде:

и экзогенная переменная Т может быть использована как инструментальная для идентификации обоих уравнений.

Упражнения

9.1. Рассматривается система уравнений вида.

Проверить, является ли данная система идентифицируемой. Изменится ли ответ, если в число регрессоров второго уравнения включить: а) константу; 6) переменную X ?

9.2. К системе двух уравнений вида.

применен косвенный метод наименьших квадратов. Для коэффициентов приведенной формы.

получены следующие оценки с= 2,2, С2=0,4, сз=0,08, С4=-0,5.

Найти оценки двухшагового метода наименьших квадратов, примененного к системе (9.35).

9.3. При оценивании системы (9.35) двухшаговым и трехшаговым методом наименьших квадратов получены одинаковые оценки. Будут ли оценки, полученные обычным методом наименьших квадратов, состоятельными?