Гидромеханическое подобие. 
Теплотехника в 2 т. Том 1. Термодинамика и теория теплообмена

Найдем условия подобия (числа подобия) движения двух потоков несжимаемой вязкой жидкости в геометрически подобных системах. Движение такой жидкости описывается уравнением Навье — Стокса (8.18).

Напишем это уравнение для первого (знак «штрих») и второго (знак «два штриха») потоков в проекции на ось х

Для подобных процессов.

Выразим все переменные второй системы через переменные первой системы и множители подобного преобразования. Получим.

После сделанных преобразований в (8.37) первой системы и в (8.40) второй системы входят одни и те же переменные. Из этих уравнений переменные должны определиться одинаковым образом. Последнее возможно только в случае тождественности (8.37) и (8.40). Для этого необходимо принять.

Из условия с_рс_?(? /с_т = с_рС" / С/ получим индикатор подобия c_wc_z / Ci = 1. Этому индикатору соответствует число гомохронности

Из условия CpC^/c/=c_pc_g получим индикатор подобия c_gCj/cl, = 1. Этому индикатору соответствует число Фруда

Из полученного выражения следует, что число подобия Fr является мерой отношения силы тяжести g к инерционной силе, пропорциональной w.

Из условия С_рс2 / Cj = с_р / Cf получим индикатор подобия с_р / (с_рс²) = 1. Из этого индикатора выводится число Эйлера:

Пользуясь правилом замещения одноименных величин, представим число Эйлера в виде.

где Ар — перепад давления.

Число Эйлера, как следует из (8.45), является мерой отношения перепада статических давлений в потоке жидкости к динамическому напору потока.

Из УСЛОВИЯ С_рС^ /С/ = CpC_w /с] ПОЛУЧИМ ИНДИКаТОр ПОДобиЯ CpC_wCj /Ср = 1. Из этого индикатора получим число Рейнольдса

Так как р / р = V, где v — кинематическая вязкость, то число Рейнольдса может быть записано в виде.

Физический смысл числа Рейнольдса легко выяснить, представив его в виде

Число Рейнольдса является мерой отношения динамического давления, пропорционального pw², к давлению силы вязкостного трения, пропорциональному величине (|xw)/l (см. формулу (8.15)). Число Рейнольдса часто определяют как меру отношения инерционной силы (w) и силы внутреннего (вязкостного) трения (v).

Таким образом, в гидромеханически подобных системах в любых сходственных точках числа подобия Но, Fr, Ей и Re имеют одинаковые значения.

Из полученных чисел подобия число Эйлера является определяемым критерием, так как перепад давления Ар является функцией процесса (Ар — искомая величина и поэтому не входит в условия однозначности). Числа подобия Но, Fr и Re являются определяющими.

В общем случае число Эйлера является функцией всех определяющих чисел подобия:

В вынужденном потоке вязкой жидкости число Фруда исключается из определяющих чисел подобия в связи с весьма малым влиянием силы тяжести на поле скоростей и давлений.

Таким образом, для стационарного вынужденного потока уравнение (8.48) записывают в виде.

В свободном потоке (естественная конвекция) число Фруда учитывается, но преобразованием приводится к иному виду, поскольку причиной движения жидкости в данном случае является разность плотностей в смежных точках пространства, кроме того, невозможно в свободном потоке измерять скорости.

В этом случае вместо числа Фруда удобнее применять число Грасгофа, которое равно произведению числа Фруда на Re² и на симплекс¹ (р₀ — - р) / р. Если разность плотностей жидкости получается вследствие разности температур At, то где (3 — температурный коэффициент объемного расширения жидкости. В результате число Грасгофа записывают следующим образом:

Число Грасгофа является мерой отношения подъемной силы, возникающей вследствие разности плотностей жидкости, к силе вязкостного трения.