Примеры решения задач

Пример 15.1. Для стержня, показанного на рис. 15.23, определим допускаемое значение сжимающей силы [F|. Дано: / = 0,4 м; b = 0,02 м; h = 0,06 м; материал стержня — Ст. 3; Е = 2,06 * 10⁵ МПа; о_1Щ = 200 МПа; коэффициент запаса, но устойчивости [п_г] = 2.

Решение. Подсчитаем минимальный момент инерции поперечного сечения стержня:

Рис. 15.23. К примеру 15.1.

Для данного стержня р = 2. Учтем это и по формуле (15.35) определим гибкость стержня:

Сопоставим полученное значение с Л., определяющим пределы применимости формулы Эйлера:

Таким образом, для определения критической силы для стержня применима формула Эйлера. Получаем.

С учетом заданного коэффициента запаса по устойчивости допускаемое значение сжимающей силы составит.

Пример 15.2. С помощью энергетического метода определим величину критической силы для двухоиорного стержня, нагруженного осевой силой (рис. 15.24).

Решение. Зададим уравнение деформированной оси стержня в форме полинома четвертой степени:

Рис. 15.24. К примеру 15.2.

Значения коэффициентов полинома определим на основании кинематических условий онирания стержня и статических условий на свободном конце стержня:

Решая систему уравнений, определим значения коэффициентов:

Определим потенциальную энергию изогнутого стержня:

Определим перемещение точки приложения силы F:

Для определения значения критической силы используем формулу (15.33):

Пример 15.3. Проверим точность полученного в предыдущем примере решения задачи, получив решение той же задачи непосредственным интегрированием.

Решение. Для решения задачи более удобной оказывается несколько иная координатная система для стержня, состоящего из двух участков (рис. 15.25).

Рис. 15.25. К примеру 15.3.

Уравнение для первого участка запишется в следующем виде: Преобразуем уравнение и представим его в следующем виде: F

где k = jj—.

?^min.

Решение этого уравнения имеет вид.

Граничные условия для первого участка следующие:

В результате решения системы получим: С₂ = 0, у₀ = -С, sin kl.

С учетом этого результата уравнение для перемещений первого участка пред ставится в следующем виде:

Для составления дифференциального уравнения перемещений для второго уча стка необходимо учесть вертикальную реакцию опоры:

Преобразуем уравнение и представим его в следующем виде:

Решив это уравнение, получим.

Для этого уравнения граничные условия имеют вид.

В результате решения системы получим С₃ = -C_tcoskl, С₄ = С, sinк!

Учтем этот результат и получим формулу для перемещений второго участка:

Рассмотрев перемещение сечения на границе участков, запишем.

В результате преобразований получим.

Так как С, ^ 0, условие существования ненулевого решения запишется так:

В результате решения этого трансцендентного уравнения получим.

Сравнением результатов убеждаемся в том, что точное и приближенное реше ния дают практически один и тот ответ. Однако приближенное решение, как и ожи далось, даст несколько завышенное значение.