Математическая модель структуры потока жидкости

Для исследования структуры потока по методу установившегося состояния индикатор (раствор поваренной соли) непрерывно подают на выходе потока у сливной планки с постоянным расходом с помощью сосуда Бойля — Мариотта. Спустя некоторое время после подачи индикатора, когда на тарелке достигается установившийся режим, с помощью кондуктометрических датчиков, установленных на тарелке по длине пути пенного слоя жидкости в трех сечениях у, измеряют концентрацию индикатора. При этом определяется размер зон полного перемешивания и диффузии, а также величины Ре_у в каждом сечении по формуле:

где С/, с_вых — концентрации индикатора в /-й точке тарелки, на выходе потока соответственно; z — безразмерная координата длины пути жидкости.

На рис. 3.3 приведен фрагмент экспериментальной реализации этого метода в аппаратах диаметром 700 и 1200 мм для разных расходов воды (L) и скорости воздуха (со) на полное сечение аппарата. Прямые участки на входе и выходе потока свидетельствуют о наличии зон полного перемешивания (Ре -" 0), наклонные линии характеризуют диффузионные зоны, тангенс угла наклона — величину Пекле.

Рис. 3.3. Распределение концентрации индикатора по длине и сечениям тарелки:

1−3 — D_tп * 1200 мм; Л_с-П ** 50 мм; L ^ш 2,2 м³/ч; «= 0,9 м/с; 4−6 — D_M = 700 мм; Л_{с п} =.

= 50 мм;? «1,6 м³/ч; а> = 0,9 м/с; / - сечение I-I (Ре| = 5,76; *д| = 0,76); 2 — сечение II—II (Рс2 =11,5; 1_Л2 = 0,5); 3-сечение III-III (Рез = 5,16; Z&з = 0,78); 4 — сечение I-I (Pcj ^ж * 5,26; гд| = 0,4); 5 — сечение II—II (Ре₂ =.

= 3,66; Za2 «0,56); 6 — сечение III—III (Рез «.

= 1,28; *_дз = 0,35).

Таким образом, по методу установившегося состояния формируют структуру математической модели потока жидкости (рис. 3.4) и определяют ее параметры — Р^е/*.

Визуальные наблюдения показали, что в боковых пристеночных частях площади барботажа часть жидкости R рециркулирует от выхода потока к его входу.

Чтобы количественно определить долю рециркуляции, в общую структуру комбинированной модели добавляется рециркулирующий поток, затем записывается система уравнений в частных производных по всем зонам, входящим в общую структуру, и эта система решается относительно среднего времени пребывания и безразмерной дисперсии.

В соответствии со структурной схемой рис. 3.4 уравнения математической модели, исходя из материального баланса, могут быть записаны в следующем виде:

где R - доля рециркулирующего потока; а, (1 — а) — доля потока аэрированной жидкости, прошедшей через тарелку, и байпас жидкости соответственно; ак, а{ - к) — доля аэрированной жидкости, прошедшей через центральную часть тарелки и боковые пристеночные зоны соответственно, а — концентрация индикатора в соответствующих зонах, г/л; V, — объемы соответствующих зон, м³; Е" F; — коэффициенты продольного перемешивания, м²/с, площадь поперечного сечения, м², /-й диффузионной зоны соответственно; L - расход жидкости, м³/с; // - координата длины пути жидкости для /-й диффузионной зоны, м;

д6(0 — расход индикатора при импульсной его подаче на входе потока; с^ -

концентрация индикатора в конце /-й диффузионной зоны; индексы при cf. 1,2,5,6 — зоны полного перемешивания, д1, д2 — диффузионные зоны; вх, вых, 7 — точки смешения.

Анализ условий на границе диффузионных зон и зон полного перемешивания показал, что только граничные условия Данквертса удовлетворяют физическому смыслу процесса перемешивания на тарелке:

Умножаем исходную систему уравнений на / и после интегрирования по / от 0 до оо получаем новую систему уравнений:

JO СО ЭО где У, — = 1 CjK — начальный момент первого порядка; /, = - J itic, = c/dt — о оо начальный момент нулевого порядка, и граничные условия соответственно: при Л = А = О.

Можно доказать, что.

Из уравнений (3.3) и (3.5) получаем.

Обозначим akL = i и а (1 — Л)(1 + Л)/, = у, тогда решение уравнений (3.4) и (3.6) с граничными условиями (3.11) будут иметь следующий вид:

Полагая, что l = L в выражении для J_ai, а /2 = Z-2 для /я2. получим:

Из уравнений (3.7) и (3.8) получаем:

а из уравнения (3.9) с учетом полученных выражений имеем:

Из уравнения (ЗЛО) получим зависимость между средним временем пребывания (т_имп), определяемым по функциям отклика системы на типовые возмущения по составу потока, и действительным временем пребывания потока на тарелке (т_д):

Умножая исходную систему уравнений и граничные условия на А после интегрирования по Г от 0 до со получаем новую систему уравнений:

и граничные условия.

где J"i = J c./'df — начальный момент второго порядка, о Из уравнения (3.13) с учетом выражения для J имеем:

Решая уравнения (3.14) и (3.16) методом вариации произвольных постоянных с использованием граничных условий (3.21), получим:

Из уравнения (3.15) с учетом выражения для /5 имеем: Из уравнения (3.18) получаем.

а из уравнения (3.17) следует.

С учетом полученных выражений имеем:

Поскольку безразмерная дисперсия определяется как.

то.

где ~ К5 ⁺ 4б ⁺ 5д2; ⁼ $ 1 ⁺² + 5ль 5/ - доли объемов зон с различным.

механизмом перемешивания.

Данное уравнение выражает зависимость дисперсии функции отклика системы на импульсное возмущение по составу потока от параметров комбинированной модели.

Определив величины Pei, Ре2 и 4/ по методу установившегося состояния, с помощью известного метода импульсного возмущения по составу потока можно определить среднее время пребывания т_имп и безразмерную дисперсию cfq (см. ниже) поС- кривой на выходе потока.

Используя зависимость (3.23), можно количественно определить долю рециркулирующего потока R. Метод отсечки, заключающийся в одновременной отсечке подачи воздуха и воды на тарелку, позволяет определить объем жидкости на тарелке при соответствующих режимах по воздуху и воде и, соответственно, действительное время пребывания на тарелке т_д = V/L (где V, L — объем и расход жидкости соответственно). Сравнение т_д с временем пребывания, определенным по С-кривой, дает возможность определить долю байпасирующего потока — (1-а) [формула (3.12)].

При исследовании структуры потока с использованием метода моментов функции распределения времени пребы;

Рис. 3.5. Изменение среднего времени пребывания индикатора по длине тарелки диаметром 3000 мм.

вания по длине пути жидкости индикатор (раствор поваренной соли) подают в виде импульса на входе потока, а в различных точках (трех сечений тарелки) снимают С-кривые, которые обрабатываются в виде зависимости т;/т_вых ,• = flzt). На рис. 3.5.

приведена обработка экспериментальных исследований по данному методу при одном из режимов работы аппарата диаметром 3000 мм на системе воздух — вода.

В отличие от вышеприведенного трудоемкого комплекса методик (установившегося состояния, импульсного возмущения и отсечки) при исследовании по новому методу (моментов функции распределения) отпадает необходимость в решении системы уравнений относительно безразмерной дисперсии. На примере комбинированной модели рассмотрим методику определения параметров математической модели. Структуру математической модели можно определить из характера зависимости, приведенной на рис. 3.5. Прямые участки свидетельствуют о наличии зон полного перемешивания, а экспоненциальные участки — диффузионной зоны, что позволяет определить размеры этих зон и величины Ре,.

Так, например, в соответствии со структурной схемой, изображенной на рис. 3.6, можно записать полную математическую модель структуры потока на тарелке в виде материальных ба.

Рис 3.6. Структурная схема комбинированной модели потока жидкости на тарелке.

лансов потоков:

где L = kL, L2 = (1 — k)(l + K)L, Ly = (1 — k)RL; ц — IJLi — безразмерная координата для /-й ди<|х})узионной зоны.

На границе диффузионных зон и зон полного перемешивания удовлетворяются граничные условия Данквертса:

Умножая систему уравнений (3.24)—(3.25) и граничные условия (3.26) на t с последующим интегрированием по / от 0 до да получим систему уравнений для определения У_{Д (} = J Xjtdt, ко;

торая полностью идентична системе (3.24)—(3.25), если в последней произвести замену:

где.

В результате решения уравнений (3.24) методом вариации произвольных постоянных с использованием граничных условий (3.26) получим:

Полагая ц — 1, Zi = 1, гз = 1 в уравнениях (3.28), найдем.

Соответственно получаем:

Из последнего уравнения с учетом уравнений (3.29) и (3.30) имеем:

или.

Таким образом, при наличии функции т,/т_вых; = f[zi) и на основании полученных выше соотношений можно определить структуру математической модели и ее параметры — размеры зон 4/> 4д долю байпасирующего потока [формула (3.27)] - /_вых = а/ (где / - нулевой начальный момент в любой точке тарелки). Значение Ре, можно определить одним из методов оптимизации с минимумом критерия

где т^, тJ — экспериментальная и расчетная величины времени пребывания в /-Й точке у'-го сечения; п — число экспериментальных точек.

т§ определяется из зависимости первого начального момента от длины пути жидкости для диффузионной зоны — [уравнение (3.28)]:

так как.

то.

Из уравнения (3.30) для зон полного перемешивания определим.

или расчетное время пребывания для модели полного переме;

шивания.

Для модели идеального вытеснения (Ре -" °о) из уравнения (3.31) получим.

Доля рециркулирующего потока определяется из уравнения (3.28).

Преимущество рассмотренной методики перед методикой одновременного использования установившегося состояния, импульсного возмущения по составу потока и отсечки заключается в возможности автоматизации исследования, резком сокращении времени эксперимента и повышении его точности.