Квантильный принцип расчета рисковой надбавки

Рассмотрим подробнее принцип определения PH на основе квантильного принципа (принципа доверительного оценивания).

а) Случай фиксированного ущерба

В случае биномиального закона распределения для однородного портфеля из п договоров с одинаковыми страховыми суммами S и вероятностями наступления страховых случаев р, с фиксированным ущербом, разброс (дисперсия) суммарного ущерба по портфелю определяется только дисперсией числа страховых случаев, так как выплаты по всем убыткам одинаковы и равны страховой сумме. Поэтому размер рисковой надбавки? можно определить с заданной вероятностью разорения? из интегральной теоремы Лапласа (следствия центральной предельной теоремы), позволяющей найти верхнюю границу числа страховых случаев.

В заданном портфеле, количество страховых случаев в котором имеет биномиальный закон распределения, среднее и дисперсия количества наступивших страховых случаев т определяются по формулам.

Математическое ожидание ущерба по портфелю равно:

Определим максимальное количество страховых случаев mmах, которое не будет превышено с заданной вероятностью неразорения (1 — ?) (см. рис. 2.8).

В случае нормальной аппроксимации биномиального распределения (когда объем портфеля достаточно велик), согласно следствию из интегральной теоремы Муавра — Лапласа^[1]:

Рис. 2.8. Расчет правой границы числа страховых случаев в однородном портфеле договоров с фиксированным ущербом.

где

Следовательно,

(2.13) где

функция распределения стандартного нормального закона (приложение 1); ?,_? — квантиль уровня (1 — ?) стандартного нормального закона распределения (приложение 1); (1 — ?) — вероятность неразорения страховой компании.

Таким образом, суммарная рисковая надбавка, но портфелю нужна на выплаты по тем страховым случаям, которые превысят среднее количество М (т) = пр:

(2.14).

А относительная рисковая надбавка равна:

(2.15).

В более общем случае (неизвестного закона распределения) при заданном количестве однородных договоров п оценить вероятность отклонения доли страховых случаев от заданной вероятности на величину не более? можно с помощью неравенства Чебышева:

ПРИМЕР 2.4^[2]

Пусть у страховой компании А есть портфель из 5000 однородных независимых рисков с фиксированным ущербом S сроком на 1 год и вероятностью наступления страхового случая р=0, 02. У компании В в 10 раз больше аналогичных однородных договоров. Компании интересует, какое количество страховых случаев mmax не будет превышено с заданной вероятностью и какую относительную рисковую надбавку необходимо назначить для этого?

• а) Какова должна быть граница числа страховых случаев по портфелю, чтобы она превышалась не чаще, чем 1 раз в 20 лет (вероятность разорения ?=0,05)? Каковы при этом должны быть абсолютная и относительная рисковые надбавки?
• б) Найти те же характеристики, если мы хотим обеспечить вероятность разорения не выше 0,01 (не чаще 1 раза в 100 лет).
• в) Предположим, что в этой подотрасли страхования надбавка в среднем составляет 10% от рисковой премии. Оцените конкурентоспособность компании — найдите надежность (и вероятность разорения), которую может обеспечить надбавка в 10%.

Решение

• 1. Рассмотрим положение страховой компании А.
• 1а. В заданном портфеле ущерб фиксирован, и страховой случай либо происходит с вероятностью р и осуществляются выплаты страховой суммы 5, либо убытков нет с вероятностью q = 1 — р, следовательно, количество страховых случаев, наступающих за год в портфеле, имеет биномиальный закон распределения.

Математическое ожидание количества наступивших страховых случаев т равно:

Таким образом, в среднем компанию А ожидают выплаты по 100 договорам в течение года.

Математическое ожидание ущерба по портфелю равно суммарной рисковой премии:

Дисперсия количества наступивших страховых случаев т равна:

Среднее квадратическое отклонение числа убытков по портфелю:

Определим максимальное количество страховых случаев /яшах, которое не будет превышено с заданной вероятностью неразорения (1-е) согласно формуле (2.13):

t найдем по таблице значений функции распределения стандартной нормальной случайной величины (приложение 1) для вероятности неразорения 1 —? = 1 — 0,05 = 0,95 = ?(?) => t- 1,645.

Можно воспользоваться встроенной функцией Excel: t = = НОРМСТОБР (0,95) = 1,64 485.

Тогда

Число страховых случаев — целое, потому полученное значение округляем до целого, причем всегда в бо? льшую сторону, так как нам надо обеспечить заданную надежность. Итак, с надежностью, не меньшей 0,95, мы можем утверждать, что число страховых случаев в портфеле компании не превысит 117 случаев.

На 100 случаев выплаты нам обеспечит суммарная рисковая премия, а суммарная рисковая надбавка должна обеспечить превышение, т. е. выплаты по 16,28 страховым случаям (рисковую надбавку считаем точно, для надежности 0,95, не округляя, иначе это приведет к завышенным тарифам и снижению привлекательности тарифов для клиентов). Согласно (2.14):

Таким образом, относительная рисковая надбавка (2.15):

т.е. рисковая надбавка составит 16,28% от рисковой премии, что является достаточно высокой рисковой надбавкой и говорит о неконкурентоспособности компании с такими тарифами.

16. Пусть мы хотим обеспечить вероятность разорения не выше 0,01 (не чаще 1 раза в 100 лет). Задача решается абсолютно аналогично, только изменилась вероятность разорения, ?=0,01:

t найдем по таблице значений функции распределения стандартной нормальной случайной величины (приложение 1) для вероятности 1 —? = 1 — 0,01 = 0,99 = Ф ((.)=> ?" 2,33.

Или с помощью встроенной функции Excel: t = НОРМСТОБР (0,99) = 2,32 635.

Тогда

Итак, с надежностью, не меньшей 0,99, мы можем утверждать, что число страховых случаев в таком портфеле компании не превысит 124 случаев.

На 100 случаев выплаты нам обеспечит суммарная рисковая премия, а суммарная рисковая надбавка должна обеспечить превышение, т. е. выплаты по 23,03 страховым случаям (рисковую надбавку считаем точно, для надежности 0,95, не округляя, иначе это приведет к завышенным тарифам и снижению привлекательности тарифов для клиентов). Согласно (2.14):

Таким образом, относительная рисковая надбавка согласно формуле (2.15):

т.е. рисковая надбавка составит 23,03% от рисковой премии, что еще более ухудшит конкурентоспособность компании.

1 В. Предположим, что в этой подотрасли страхования надбавка в среднем составляет 10% от рисковой премии. Оценим конкурентоспособность компании — найдем надежность (и вероятность разорения), которую может обеспечить надбавка в 10%.

Итак, используя (2.15):

получаем:

Далее, но таблице приложения 1 находим функцию распределения стандартной нормальной величины ?(?) = ?(1,01)=0,84 375;

Ф (t) = 1 —? = 0,84 375 => вероятность разорения ?=0,15 625.

Более точно посчитать можно с помощью встроенной функции Excel: найти функцию распределения стандартного нормального распределения, соответствующую квантилю t F (t) = НОРМСТРАСГ1 (1,1 015) = 0,843 789.

Тогда вероятность разорения? = 1 — F (t) = 0,156 211.

Таким образом, мы видим положение небольшой страховой компании на рынке: при адекватной вероятности разорения ей для обеспечения такой надежности надо назначать высокие рисковые надбавки и, соответственно, страховые тарифы. А если делать надбавку и тариф на конкурентоспособном уровне, получаем слишком высокую вероятность разорения.

2. Рассмотрим положение страховой компании В.

Решение задачи абсолютно аналогично, изменилось лишь число договоров и=50 000.

2а. Математическое ожидание количества наступивших страховых случаев т равно:

В среднем компанию В ожидают выплаты по 1000 договорам в течение года.

Математическое ожидание ущерба по портфелю равно суммарной рисковой премии:

Дисперсия количества наступивших страховых случаев т равна:

Среднее квадратическое отклонение числа убытков по портфелю:

Определим максимальное количество страховых случаев , которое не будет превышено с заданной вероятностью неразорения (1 — ?) согласно (2.13):

t найдем по таблице значений функции распределения стандартной нормальной случайной величины (приложение 1) для вероятности

С помощью встроенной функции Excel•. t= НОРМСТОБР (0,95) = = 1,64 485.

Тогда

Число страховых случаев — целое, округляем до целого, причем всегда в бо? льшую сторону, так как нам надо обеспечить заданную надежность. Итак, с надежностью, не меньшей 0,95, мы можем утверждать, что число страховых случаев в портфеле компании не превысит 1052 случаев.

На 1000 случаев выплаты нам обеспечит суммарная рисковая премия, а суммарная рисковая надбавка должна обеспечить превышение, т. е. выплаты по 51,49 страховым случаям (рисковую надбавку считаем точно, для надежности 0,95, не округляя, иначе это приведет к завышенным тарифам и снижению привлекательности тарифов для клиентов). Согласно (2.14):

Таким образом, относительная рисковая надбавка (2.15):

т.е. рисковая надбавка составит 5,15% от рисковой премии, что является достаточно низкой рисковой надбавкой и говорит о конкурентоспособности компании В с такими тарифами.

2б. Пусть мы хотим обеспечить вероятность разорения не выше 0,01 (не чаще 1 раза в 100 лет). Задача решается абсолютно аналогично, только изменилась вероятность разорения,? = 0,01:

t найдем по таблице значений функции распределения стандартной нормальной случайной величины (приложение 1) для вероятности 1 —? = 1 — 0,01 = 0,99 = ?(?) =>? * 2,33.

С помощью встроенной функции Excel:? = НОР М СТ О В Р (0,99) = = 2,32 635.

Тогда

Итак, с надежностью, не меньшей 0,99, мы можем утверждать, что число страховых случаев в таком портфеле компании В не превысит 1073 случаев.

На 1000 случаев выплаты нам обеспечит суммарная рисковая премия, а суммарная рисковая надбавка должна обеспечить превышение, т. е. выплаты по 72,94 страховым случаям.

Таким образом, относительная рисковая надбавка (2.15):

т.е. рисковая надбавка составит 7,29% от рисковой премии, что выше, чем в п. 2а, но все равно ниже принятой по отрасли надбавки в 10%, и даже при такой высокой надежности компания В сохраняет высокую конкурентоспособность.

2 В. Предположим, что в этой подотрасли страхования надбавка в среднем составляет 10% от рисковой премии. Оценим конкурентоспособность компании — найдем надежность (и вероятность разорения), которую может обеспечить надбавка в 10%.

Итак, используя (2.15):

Получаем:

Далее по таблице приложения 1 находим функцию распределения стандартной нормальной случайной величины ?(?) = ?(3,19) = = 0,999 289; Ф (0 = 1 — 0,999 289 => вероятность разорения 8 = 0,711.

Более точно посчитать можно с помощью встроенной функции Excel: найти функцию распределения стандартного нормального распределения, соответствующую квантилю t F (t) = НОРМ-СТРАСП (3,19 438) = 0,999 299.'.

Тогда вероятность разорения ?= 1 — F (t) = 0,701.

Таким образом, мы видим предпочтительное положение более крупной страховой компании на рынке: ей даже нет необходимости назначать 10%-ю рисковую надбавку, она может снизить тарифы, назначив 5−7%-ю надбавку при низкой вероятности разорения в 1−5%.

В том числе и этим обусловливаются процессы концентрации на российском и мировом рынках, происходящие в последние годы: крупные страховые компании, собирая большие портфели договоров, кроме выравнивания ущерба, имеют возможность снижать страховые тарифы и привлекать клиентов, сохраняя свою финансовую устойчивость, используя математически обоснованные свойства совокупного ущерба по портфелю. При увеличении портфеля договоров в п раз математическое ожидание ущерба увеличивается также в п раз, а среднее квадратическое отклонение суммарного ущерба увеличивается лишь в ^fn раз — принцип коллективного баланса, который мы обсуждали в гл. 1. Поэтому рисковая премия, приходящаяся на один договор, не изменяется, а рисковая надбавка, приходящаяся на один договор, уменьшается в ~fn раз.

б) Случай распределенного ущерба

Более общий вывод формулы, подходящий как для случая фиксированного, так и для распределенного ущерба, можно получить, используя центральную предельную теорему (ЦПТ) теории вероятностей, согласно которой сумма независимых одинаково распределенных случайных величин.

стремится к нормальному закону распределения, а нормированная сумма — к стандартному нормальному закону:

Поэтому правую границу доверительного интервала максимально возможного ущерба по всему портфелю страхования не превышаемую с заданной вероятностью 1 — ?, можно получить согласно известным из теории вероятностей формулам стандартного нормального закона распределения^[1]:

где f] _? — квантиль уровня 1 —? = F (t), который можно найти по таблице приложения 1 для вероятности 1 — ?;

функция распределения стандартного нормального закона (приложение 1).

Для более точного нахождения t можно использовать встроенную статистическую функцию Excel НОРМСТОБР для нахождения квантиля уровня 1 —? = F (t) стандартного нормального распределения: t = НОРМСТОБР (1 — ?).

Рис. 2.9. Квантильный принцип расчета суммарной рисковой надбавки по портфелю договоров страхования.

Математическое ожидание ущерба по всему портфелю (согласно 2.3) — это не что иное, как суммарная рисковая премия:

(2.16).

Суммарная рисковая надбавка для всего портфеля страхования должна обеспечивать согласно квантильному принципу (2.12) превышение математического ожидания совокупного ущерба (рис. 2.9) и равна:

(2.17).

Тогда рисковая надбавка, назначаемая на один договор страхования:

(2.18).

Если портфель состоит из п однородных рисков с одинаковыми математическими ожиданиями М (F;) и дисперсиями D (Yj), то формулы принимают вид.

где ?1-? — квантиль уровня 1 —? = F (t), который можно найти по таблице приложения 1 для вероятности 1 — ?;

функция распределения стандартного нормального закона (приложение 1).

Математическое ожидание ущерба по всему портфелю — суммарная рисковая премия:

Суммарная рисковая надбавка для всего портфеля страхования должна обеспечивать превышение математического ожидания совокупного ущерба и равна:

(2.19).

Тогда рисковая надбавка, назначаемая на один договор страхования:

(2.20).

Как видим, рисковая надбавка, приходящаяся на один договор, рассчитанная согласно квантильному принципу, при увеличении портфеля договоров в п раз уменьшается в in раз. Этим и объясняется тот факт, что крупные страховые компании, просто собирая бо? льший портфель договоров, могут уменьшать страховые тарифы и повышать свою конкурентоспособность, не снижая при этом вероятности своего неразорения и финансовой устойчивости.

ПРИМЕР 2.5

В условиях примера 2.2 (договор с безусловной франшизой) страховщик имеет однородный портфель из 500 аналогичных договоров. Необходимо найти:

• а) единовременную рисковую премию;
• б) пользуясь квантильным принципом, относительную рисковую надбавку, обеспечивающую вероятность выполнения страховщиком своих обязательств не ниже 86% (остальное планируется обеспечить за счет собственных резервов и перестрахования), а также нетто-премию и брутто-премию, если нагрузка на ведение дел и прибыль составляют 10% от тарифа;
• в) какими станут относительная рисковая надбавка, неттои брутто-премии, если объем портфеля увеличится в 11 раз;
• г) сколько получит страхователь, если при наступлении страхового случая фактический ущерб составит 50% от реальной цены объекта;
• д) сколько получит страхователь, если он расторгнет договор (например, после продажи застрахованного объекта) через пять месяцев от момента заключения договора.

Решение

Используем результаты, полученные в примере 2.2.

Характеристики ущерба по одному договору страхования:

M (Yj) = 810 у.е.; 0(У;) = 9 063 900 (у.е.)2; ?(?;) = 3010,63 у.е.; K (Yj) = 3,72.

Портфель состоит из 500 договоров, т. е. п = 500.

Вероятность выполнения обязательств страховщиком: 1 —? = 0,86.

Функция стандартного нормального распределения Ф (/)=0,86 => > по таблице приложения 1: t — 1,08.

Для нахождения соответствующего квантиля уровня F (t) = 0,86 стандартного нормального распределения можно использовать встроенную статистическую функцию Excel НОРМСТОБР: t = НОРМСТОБР (0,86) = ?, 80 319.

Получаем:

а) Рисковая премия — математическое ожидание выплат страховщика (согласно принципу эквивалентности страхования), приходящаяся на один договор страхования, не зависит от количества договоров в портфеле и равна (2.3):

б) Рисковая надбавка, обеспечивающая заданную вероятность выполнения страховой компанией своих обязательств, но договорам страхования, определяется согласно квантильному принципу исходя из максимально возможного ущерба по всему портфелю страхования не превышаемого с заданной вероятностью.

Суммарная рисковая надбавка для всего портфеля страхования должна обеспечивать превышение математического ожидания совокупного ущерба и равна (2.19):

Тогда рисковая надбавка, назначаемая на один договор страхования (2.20):

Относительная рисковая надбавка, обеспечивающая неразорение страховщика на заданном уровне, вычисляется по формуле (2.11):

т.е. рисковая надбавка составляет 17,96% от рисковой премии.

Нетто-премия согласно (2.10) равна:

Брутто-премия с учетом нагрузки на ведение дела и прибыли 10% равна (2.1):

в) Если объем портфеля увеличится в 11 раз, то:

Рисковая премия не изменится:

Абсолютная и относительная рисковая надбавка уменьшатся в раз (2.20):

Брутто-премия с увеличением объема портфеля станет равной:

То есть с увеличением объема портфеля в 11 раз относительная рисковая надбавка уменьшится в V11 раз (почти в 3,32 раза), и соответственно уменьшатся и нетто-премия, и брутто-премия, повысив таким образом конкурентоспособность страховщика.

г) При ущербе в 50% от цены объекта величина убытков составит X = 10 000 у.е.

Этот ущерб больше, чем предусмотренная договором безусловная франшиза в 10% L = 2000 у.е., следовательно, ущерб будет выплачен страхователю в размере:

д) Пунктом 3 ст. 958 ГК РФ предусмотрено, что при досрочном прекращении договора страхования страховщик имеет право на часть страховой премии пропорционально времени, в течение которого действовало страхование.

Как правило, при досрочном расторжении договора страхования возвращается только часть нетто-премии, соответствующая неистекшему сроку действия договора, расходы на ведение дела и прибыль не возвращаются.

Если страхователь расторгает договор через 5 месяцев после заключения договора сроком на 1 год (12 месяцев), то страховщик возвращает часть нетто-премии за неиспользованный период, который составляет 7 месяцев. Поэтому возврату подлежит сумма:

Ответы:

• а) единовременная рисковая премия РП = 810 у.е.;
• б) относительная рисковая надбавка? = 0,1796 = 17,96%; неттопремия НП = 955,45 у.е.; брутто-премия БП = 1061,62 у.е.;
• в) если объем портфеля увеличится в 11 раз, относительная рисковая надбавка уменьшится до? = 0,0541 = 5,41%; нетто-премия НП = 853,86 у.е.; брутто-премия БП = 948,73 у.е.;
• г) сумма выплат У = 8000 у.е.;
• д) сумма возврата У = 557,348 у.е.

Деление рисковой надбавки между субпортфелями^[4]

Перед актуарием могут стоять две задачи: определение совокупной РП по всему портфелю и деление совокупной PH между отдельными субпортфелями.

Серьезнейшим является вопрос — какой вклад должны вносить отдельные риски или полисы в совокупную рисковую надбавку. Для этого портфель раскладывается на несколько субпортфелей (например, по видам страхования или, но группам клиентов).

Кажущийся разумным подход разделения совокупного гарантийного капитала между субпортфелями, потребовав одинаковой надежности (вероятности неразорения) для всех субпортфелей, приводит к тому, что большие субпортфели, уже имеющие внутри себя определенный баланс, оказываются в более выгодном положении по сравнению с малыми субпортфелями. Следовательно, правило деления гарантийной надбавки должно быть аддитивно относительно любого разложения или объединения портфелей.

Деление гарантийной надбавки соответственно делению математического ожидания М (У) = М (У]) + M (Y2) + … + + М (У"), несмотря на аддитивность, некорректно, так как размер гарантийного капитала и метод расчета рисковой надбавки в большей степени зависят от показателей вариации.

Поскольку стандартное отклонение не позволяет удовлетворить требованию аддитивности в случае независимых субпортфелей, остается один разумный вариант деления рисковой надбавки, а именно пропорционально дисперсиям. В этом случае при разложении портфеля на независимые субпортфели, представив совокупный убыток Y= Yi + + У2 + ••• + Y,' субпортфелю У,• сопоставляется доля рисковой надбавки D (Y;)/D ( У).

Такое правило деления аддитивно в силу равенства D (Y) = = D (У,) + D (Y>) + … + D (Ун). Соответствующая У, гарантийная надбавка не изменяется при объединении с другими субпортфелями или при разложении их на независимые части. Более того, в случае нормально распределенных убытков У, — деление пропорционально дисперсиям выгодно для каждого субпортфеля в отдельности.

Рассмотрим вариант, когда какой-либо из таких субпортфелей не может быть далее разложен на независимые части из-за корреляции содержащихся в нем рисков. Такая ситуация встречается в страховании кредитов, где риски зависят от конъюнктуры, а также в страховании от стихийных бедствий (ураган, град, землетрясение, наводнение), где сильно коррелируют риски, близкие по географическому положению. Деление рисковой надбавки между полностью положительно скоррелированными субпортфелями должно осуществляться пропорционально стандартным отклонениям ?(У,¦)/.

В принципе, желательно иметь правило деления не только для случая независимых субпортфелей (коэффициент корреляции равен 0) и полностью положительно коррелированных субпортфелей (коэффициент корреляции равен 1), но и для общего случая любой корреляционной зависимости между частями портфеля. Чаще всего в страховой практике встречаются неотрицательные корреляции (обусловленные общими внешними факторами, такими как конъюнктура, стихийные бедствия или не полностью устраненная инфляция). Оба рассмотренных выше частных случая легко укладываются в следующее общее правило деления: при разложении совокупного портфеля У на любые, не обязательно независимые части (или полисы) Y= У, + У2 +… + ?" совокупная рисковая надбавка делится так, чтобы на часть У, приходилась доля рисковой надбавки, равная отношению соответствующей ковариации к общей дисперсии cov (У,•; У) ДК У)• Очевидно, что в случае независимых субпортфелей это правило предписывает делить рисковую надбавку пропорционально дисперсиям, а в случае полностью зависимых субпортфелей — пропорционально стандартным отклонениям.

• [1] Вентцель E. С. Теория вероятностей. М.: КноРус, 2010.
• [2] Прообраз задачи см.: Корнилов И. А. Указ. соч.
• [3] Вентцель E. С. Теория вероятностей. М.: КноРус, 2010.
• [4] Мак Т. Математика рискового страхования: пер. с нем. М.: ОлимпБизнес, 2005.