Задачи с решениями

Задача 7.1. Оцененная зависимость почасовой оплаты труда индивида Y(измеряется в долларах в час) от результатов выпускного теста X (измеряется в баллах) и пола (D — фиктивная переменная, равная 1 для мужчин и 0 для женщин) имеет вид

Все коэффициенты являются значимыми при уровне значимости 1%.

Па сколько при одинаковых результатах теста почасовая оплата мужчин выше почасовой оплаты женщин?

Решение. Уравнение для мужчин имеет вид У_т = 2 + 3,7Х + 2,4, поскольку для этой категории D = 1. Уравнение для женщин У, — = 2 + 3,7Х, поскольку в этом случае D = 0, т. е. при равных результатах теста X почасовая оплата мужчин на 2,4 долл, выше:

Задача 7.2. Оценка зависимости почасовой оплаты труда американцев Y (измеряется в долларах) от стажа их работы X (измеряется в годах); пола, описываемого с помощью фиктивной переменной D_v равной 1 для мужчин и 0 для женщин; расовой принадлежности, описываемой с помощью фиктивной переменной D₂, равной 1 для светлокожих и 0 для темнокожих американцев, имеет вид.

Все коэффициенты являются значимыми при уровне значимости 1%.

Чему равна почасовая оплата труда светлокожих американцев при пятилетием стаже работы?

Решение. Для подгруппы светлокожих американцев D, = 1, D₂ = 1. Тогда при пятилетием стаже работы X = 5 имеем.

Задача 7.3. Зависимость расходов на продукты питания от располагаемого дохода X имеет вид

где D, — фиктивная переменная, равная 1 для городских и 0 для сельских жителей.

• 1. Чему равен коэффициент наклона в линейной зависимости для сельских жителей?
• 2. Если вместо D, использовать переменную D₂, равную 0 для городских и 1 для сельских жителей, то какой вид примет зависимость?

Решение. 1. Уравнение регрессии У = 2 + 0,6Х + 0,07D_{X для сельских жителей, т. е. при D, = 0, примет вид У_шта] = 2 + 0,6Х Таким образом, угол наклона в линейной зависимости для сельских жителей равен 0,6.

2. Для сельских жителей У_П1га, = 2 + 0,6Х. Для городских жителей.

Соответственно, если мы возьмем дамми-переменную Z)₂, в которой, наоборот, 1 будет для сельских жителей, а 0 для городских, мы можем представить нашу новую переменную как D₂ = 1 — D{.

Подставив D, = 1 — D₂ в оцененное уравнение регрессии, получим У = 2 + 0,6Х + 0,07ДХ = 2 + 0,6Х + 0,07(1 — D₂)X = 2 + 0,67X — 0,07D₂.

Задача 7.4. Оценена зависимость расходов потребителей на газ и электричество У в США в 1977—1999 гг. в постоянных ценах I квартала 1977 г. от времени (t = 1 для 1977 г., t = 2 для 1978 г. и т. д.) с учетом сезонных факторов (Д = 1, если наблюдение относится к i-му кварталу, и 0 — иначе, i = 1,…, 4):

Если в качестве выделенной категории будет выбран не первый квартал, а второй, то какой вид примет уравнение регрессии?

Решение. Рассмотрим исходное уравнение У = 8 + 0,1? — 3D₂ — 2, 6Д₃ — 2D_A. Первый квартал базовый, от него ведется отсчет. Квартальные дамми-переменные на II, III и IV кварталы выглядят следующим образом:

Следовательно, для наблюдений, относящихся к I кварталу, оцененное уравнение имеет вид У = 8 + 0,1?, для II квартала — У = 8 + 0,1? — 3 = 5 + 0,1?, для III квартала — У = 8 + 0№ - 2,6 = 5 + 0М + 0,4, для IV квартала — У = 8 + 0,11 -2 = 5 + 0,11 + 1.

Если мы теперь возьмем за базовый второй квартал, то должны получить те же самые квартальные зависимости, только теперь у нас будут дамми-переменные.

По определению сезонных дамми-переменных, для квартальных данных выполнено D, + D₂ + D₃ + D_a = 1:

Так как теперь II квартал базовь и, нам нужно выразить через остальные переменную Я₂: D₂ = 1 — D_x — D₃ — D_a и подставить в исходное уравнение:

Задача 7.5. По базе данных dougherty для 570 индивидуумов оценили зависимость длительности обучения индивидуума S от способностей индивидуума, описываемых обобщенной переменной ASVABC, и пола индивидуума, описываемого с помощью фиктивной переменной MALE (равной 1 для мужчин и 0 для женщин) с помощью двух регрессий:

Зависит ли длительность обучения от пола индивидуума и почему?

Решение. Проведем F-тсст на совместную значимость коэффициентов при переменных MALE и MALE-ASVABC. Имеем гипотезы:

Я₍₎: коэффициенты перед переменными MALE и (MALE-ASVABC) одновременно равны нулю;

Я: коэффициенты перед переменными MALE и (MALE — ASVABC) не равны нулю одновременно.

Имеем.

Так как F < F (2; ⁰⁰)₍._rit;5%, то пулевая гипотеза не отвергается, т. е. длительность обучения не зависит от пола.

Задача 7.6. По квартальным данным 1960—1976 гг. была оценена модель с тремя объясняющими факторами:

При добавлении в модель трех сезонных дамми-переменных значение ESS увеличилось до 107,3. Проверим гипотезу о наличии сезонности.

Решение. При добавлении трех сезонных дамми-переменных количество к оцениваемых коэффициентов в модели Y= Р₀ + + Р₂Х₂ + Р₃Х₃ + р_AD₂ + P₅D₃ + р₆Z)₄

составит 7.

Модель с сезонными дамми-персмснными является моделью без ограничений (UR). По условию в этой модели ESS_ur = 107,3.

Если мы предполагаем, что сезонность отсутствует, мы оцениваем модель без сезонных дамми-переменных, это будет модель с ограничениями ®. Результаты оценки приведены в условии задачи, причем ESS_r = 103,5, RSS_r = 17,48.

Рассчитаем количество наблюдений. Известно, что для оценивания использовались квартальные данные с 1960 по 1976 г. По умолчанию считаем, что имеем данные с I квартала 1960 г. по IV квартал 1976 г. Тогда п = (1976 — 1960 + 1)-4 = 68.

Задача 7.7. По данным для 570 индивидуумов оценили зависимость почасовой заработной платы EARN от длительности обучения S и от способностей индивидуума, описываемых обобщенной переменной ASVABC:

Проверим гипотезу Н₀: р₄ = Р₅ = р₆ = 0. Для этого необходимо вычислить значение тестовой статистики:

Для этого нам необходимо найти RSS_ur

п

Поскольку TSS = ^(YjY)² одинаковы в моделях с ограничениями и без огра;

/=1.

ничений (TSS_r = TSS_ur), то RSS_ur = (ESS_f. + RSS,) — ESS_ur = 103,5 + 17,48 — 107,4 = = 13,58.

Теперь мы можем рассчитать значение тестовой статистики:

Поскольку F_5%(3; 61) ~ 2,74 < F, то основная гипотеза (об отсутствии сезонности) отвергается на 5%-ном уровне значимости. Это означает, что сезонность в модели есть.

1) по общей выборке (иод оценками коэффициентов указаны их стандартные ошибки)

2) отдельно для мужчин.

3) отдельно для женщин.

Можно ли считать, что эта зависимость одинакова для мужчин и женщин? Решение. В этой задаче нам необходимо проверить основную гипотезу, что коэффициенты регрессии, оцененные отдельно для мужчин и отдельно для женщин, совпадают:

при альтернативной гипотезе

Для выбора между основной и альтернативной гипотезами проведем тест Чоу. Вычислим тестовую статистику по формуле (7.8):

——^- 7 ' 7— — «7— «// «~ ' ~ ^w /.

и сравним с критическим значением: F_5%(3; 564) ~ 2,62.

Поскольку значение тестовой статистики превышает критическое, основная гипотеза отвергается. Таким образом, считать, что зависимость одинакова для мужчин и женщин, нельзя.

Задача 7.8. Была оценена зависимость расходов на питание в расчете на одного человека от относительного индекса цен на питание и располагаемого дохода:

и получены следующие результаты:

Можно ли считать зависимость единой для довоенных и послевоенных лет?

Решение. Снова воспользуемся тестом Чоу для выбора между основной и альтернативной гипотезами:

Вычислим тестовую статистику:

и сравним ее с критическим значением F_5%(3; 24) = 3,01.

Поскольку значение тестовой статистики превышает критическое, то при уровне значимости 5% основная гипотеза отвергается. Следовательно, зависимость нельзя считать единой для довоенных и послевоенных лет.