Показательный (экспоненциальный) закон распределения и распределение Вейбулла

Определение. Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром X > 0, если ее плотность вероятности имеет вид

Рис. 4.4.

Кривая распределения ф (х)и график функции распределения Р (х) случайной величины X приведены на рис. 4.4, а, б.

Теорема. Функция распределения случайной величины X, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону, есть

ее математическое ожидание а дисперсия

? При х < 0 функция распределения Дг) = 0. При х > 0 по формуле (3.23).

т.е. формула (4.22) доказана.

Найдем математическое ожидание случайной величины X, используя при вычислении метод интегрирования по частям:

Для нахождения дисперсии О (Х) вначале найдем.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

с учетом того, что во втором слагаемом несобственный интеграл есть Теперь.

Из доказанной теоремы следует, что для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению, т. е.

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, например, интервал времени Г между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром X — интенсивностью потока (см. параграф 7.3).

Показательный закон распределения (и только он в классе непрерывных случайных величин) обладает важным свойством, рассматриваемым ниже.

?> Пример 4.7. Доказать, что если промежуток времени Т, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время т, то это никак нс влияет на закон распределения оставшейся части Г, =Т — т промежутка, т. е. закон распределения 7 остается таким же, как и всего промежутка Т.

Решение. Пусть функция распределения промежутка Т определяется по формуле (4.22), т. е. Д?) = 1 — е^_5и, а функция распределения оставшейся части Т₁ = Т- т при условии, что событие Т > х произошло, есть условная вероятность события Г, < Г относительно события Т > т, т. е.

Щ=Рт>Аъ<*

Так как условная вероятность любого события В относительно события А Р_А(В) = Р (АВ)/Р (А), то, полагая А = (Т > т), В = [Т < г), получим.

Произведение событий (7'>т) и 7', = 7' - т <? равносильно событию т < 7⁴ <? + т, вероятность которого.

Так как 7⁵(Г>т) = 1-Р (Г<�т) = 1−7^;'(т), то выражение (4.25) можно представить в виде.

Учитывая формулу (4.22), получим.

Доказанное в примере 4.7 свойство «отсутствия последействия» показательного распределения широко используется в марковских случайных процессах (см. гл. 7)^[1].

|> Пример 4.8. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Решение. По условию математическое ожидание откуда параметр = 1/15 и по формулам (4.21) и (4.22) плотность вероятности и функция распределения имеют вид.

Искомую вероятность Р (Х > 20) можно было найти по формуле (3.22), интегрируя плотность вероятности, т. е.

но проще это сделать, используя функцию распределения:

Осталось найти среднее квадратическое отклонение а,. = М (Х) = 15 дней.? Показательное (экспоненциальное) распределение является частным случаем распределения Вейбулла.

Определение. Непрерывная случайная величина X имеет распределение Вейбулла с параметрами а > 0 и X > 0, если ее плотность вероятности имеет вид:

Теорема. Функция распределения случайной величины, распределенной по закону Вейбулла, имеет вид

? При х < 0 функция распределения Р (х) = 0. При х > 0 по формуле (3.23).

?

Распределение Вейбулла имеет широкое применение в теории надежности для описания времени безотказной работы элементов различных устройств, жизни человека (другой биосистемы).

Известно, что интенсивность отказов элементов (коэффициент смертности) Х (1) определяется соотношением т. е. представляет отношение доли выбывших в возрасте? элементов к общему числу доживших до этого возраста элементов.

Рис. 4.5.

Решение этого дифференциального уравнения (напомним, что ^'(0 ⁼ ф (0) показывает, что конкретный вид функции распределения /•'(?) полностью определяется видом функции интенсивности отказов /.(?).

Функция отказов Ц?) (по результатам многочисленных экспериментальных исследований в области надежности) имеет характерный вид кривой, изображенной на рис. 4.5.

На графике Л,(?) четко выделяются три временных периода (см. рис. 4.5): приработка (? < ^), нормальная эксплуатация (С_{ <? < ?₂), старение (износ) (? > ?₂). Указанные три периода функции интенсивности отказов получаются, если использовать достаточно гибкое и удобное распределение Вейбулла, при котором при, а 1 — возрастает (период старения (износа)). При, а = 1 (период нормальной эксплуатации) распределение Вейбулла представляет показательное (экспоненциальное) распределение с постоянной интенсивностью отказа Х{1) = X.

• [1] В классе дискретных распределений тем же свойством обладает только геометрическое распределение.