Перемещения от действия температуры

Предположим, что на прямолинейный стержень действует температура (рис. 5.22, а), равная по всей длине верхней кромки t, а по длине нижней кромки t₂ градусов. Сделаем допущение, что по толщине стержня температура меняется по линейному закону (рис. 5.22, б). Если стержень имеет прямоугольное сечение, то его нейтральная ось расположена посередине высоты. Температура центрального волокна будет равна ?_ср, разность температур крайних волокон обозначим At:

Выделим из стержня элемент длиной ds (рис. 5.23, а). От действия средней температуры t_c^ элемент удлинится на величину Ads, (рис. 5.23, б), а при действии разности температур элемент изогнется, образовав взаимный угол поворота сечений Дф:

где, а — температурный коэффициент линейного расширения материала; h — высота сечения элемента.

Будем, как и раньше, рассматривать два состояния системы. В первом состоянии на стержневую систему действует температура, а во втором система подвергается единичному воздействию и в ней возникают внутренние силы М_п И N".

Точка, в которой приложена единичная сила, переместится от действия температуры по направлению силы на величину А_п[. Виртуальная работа внешней единичной силы будет равна 1 — А,. В то же время виртуальная работа внутренних сил для стержня в целом.

Рис. 5.22.

Рис. 5.23.

Перемещение равно.

Заметим, что при температурном поле, обозначенном на рис. 5.22, а, сдвиги в стержне отсутствуют, поэтому третий интеграл, содержащий силу Q, равен нулю.

Подставляя в формулу (5.30) значения (5.29), получим.

При интегрировании, но длине стержня найдем.

здесь Q._M и Q._v — площади эпюр моментов и продольных сил в заданной системе от единичной силы (единичного воздействия).

Подставляя соотношения (5.32) в формулу (5.31) и производя суммирование для всех стержней заданной системы, получим общую формулу.

Отметим, что формула (5.33) получена для статически определимых систем, в которых от действия температуры не возникает никаких напряжений и усилий.

Знаки в формуле (5.33) удобнее всего определять, сравнивая деформации от температурыи от единичного воздействия. Если кривизны в стержне от М_п и от температуры одного знака, то первое слагаемое будет сознаком «плюс». Точно так же, если осевые деформации от N" и от температуры одного знака, то второе слагаемое будет со знаком «плюс».

Пример. Рассмотрим пример определения перемещения от действия температуры в ломаном стержне (рис. 5.24, а).

Пусть температура^.наружной части контура равна -30°С, а внутри 20 °C. Эпюра М_х показана на рис. 5.24, б, а эпюра N_x — на рис. 5.24, в. Для всех трех стержней.

11айдем площади эпюр:

Для определения знаков слагаемых в формуле (5.33) сравним кривизны. Легко заметить, что волокна, расположенные внутри контура, для всех трех стержней от действия температуры удлиняются, а от изгиба силой Р = 1, наоборот, укорачиваются, следовательно, кривизны имеют разные знаки и первое слагаемое формулы (5.33) будет со знаком «минус».

Рис. 5.24.

К противоположному выводу приходим относительно знака второго слагаемого. В самом деле, средняя температура (температура оси стержня) для всех трех стержней отрицательная, поэтому стержни укорачиваются, и от силы Р = 1 стержни также укорачиваются, поэтому второе слагаемое будет со знаком «плюс». Таким образом,.

но a/h = 10, поэтому Д₁₍ = -1004,5аа.

Итак, получено отрицательное значение перемещения. Это означает, что перемещение точки k происходит в сторону, противоположную направлению силы Р = 1.