Методика калибровки зависимости рейтинга PD по ожидаемой дефолтности и качеству рейтинговой системы

Калибровка формулы зависимости вероятности дефолта от рейтингового балла (формула (16)) должна определяться следующими основными классификационными аргументами.

• 1. Отраслево-целевой сектор, на который ориентирован рейтинговый балл. Для него выделяются параметры распределения баллов рейтинга. Прежде всего — это средний рейтинговый балл и разброс (стандартное отклонение) рейтинговых баллов dR в портфеле банка.
• 2. Ожидаемая среднегодовая частота дефолтов¹ (совокупное PD или среднекумулятивное PD на сроке больше года) в отраслево-целевом секторе кредитного портфеля (% в год). Определяется из исторических данных за последние 5—7 лет, но статистике дефолтов в портфеле. Может быть скорректирована на текущий год с учетом специфики сектора, экономического цикла, прогнозных макроэкономических параметров, частоты дефолтов кредитуемых банками компаний, но стране и т. п.
• 3. Мощность (качество) рейтингового балла в специфике разделения заемщиков на «плохих» и «хороших». Определяется по существующей (прогнозной) СЛР (/?ОС)-кривой^[1][2] и масштабируется показателем AR.

В качестве калибровочной базы формируются следующие показатели.

• 1. Ряды из значений рейтинговых баллов R_t оценок на начало каждого периода (год, полгода). База данных, но корпоративным заемщикам просматривается на периоде максимального количества прошедших лет до даты калибровки^[3], рассматриваются только заемщики, имеющие периодические обновления оценок рейтингового балла в рамках мониторинга за каждый отчетный период и не находящиеся в дефолте на моменты формирования точек рядов.
• 2. Результаты индикации дефолта за последующий год. Индикатором может служить факт дефолт/не дефолт за последующий период (год, более года), внешний рейтинг заемщика (средне-, долгосрочный, актуальный на момент расчета R_} (если есть)), рыночный индикатор (спреды облигаций, CDS и пр.).

По статистическому ряду рассчитываются стандартными методами либо оцениваются следующие показатели.

• 1. Характеристики распределения баллов кредитного рейтинга. В частности, средняя и стандартное отклонение dR балла кредитоспособности в множестве рейтингованных объектов за статистически значимый оценочный период до даты калибровки.
• 2. Среднеожидаемая частота дефолтов по выборке , являющаяся основным параметром для калибрования модели. Показатель оценивается по ожидаемым значениям, исходя из исторических данных, статистики рейтинговых компаний, рыночных моделей, аналитических прогнозов.
• 3. Показатель AR мощности рейтинговой системы. Для его расчета строится РОС-кривая (п_ац (х): n_D(x)) относительной доли n_D(x) попадания в дефолт компаний с аргументом (-°°; х), где х = (R —)/dR (ось У) по отношению к доле всех компаний п_ац (х) (ось X). AR рассчитывается стандартным методом как соответствующее отношение площадей¹. Либо показатель оценивается экспортно по ожидаемому значению мощности рейтинговой системы, сопоставимому с известными мощностями аналогичных систем.

Предполагая известным распределение f (x) рейтингового балла R (как правило, с достаточным уровнем достоверности для корпоративного портфеля подходит нормальное распределение), строят первое калибровочное уравнение на среднеожидаемую частоту дефолтов^[4]:

где.

EDF_{a ь}(х) — частота попадания в дефолт при рейтинге ниже R = x dR +; a, b — параметры калибровки; f (x) — стандартизированная функция распределения рейтингового балла.

В качестве основного первого приближения берется конкретный закон распределения вероятностей, который достаточно хорошо согласуется с опытными данными распределения баллов по компаниям корпоративного портфеля. Для отраслево-целевых секторов, где есть строгие правила «отсечения» «плохих» заемщиков, нормальное распределение дает заведомо большие ошибки. Например, в случае применения результатов кредитного скоринга для заемщиков — физических лиц (пластиковые карты, овердрафты, кредиты под нужды и т. д.).

Для окончательного определения параметров калибровки а, b строится второе уравнение, теоретически моделирующее значение показателя AR по известному распределению f (x) нормированного рейтингового балла R:

Для использования формулы (16), оперирующей с рейтинговым балом, необходимо вычислить параметры а, Ь, решив систему уравнений (19), (20) для известного значения среднегодовой вероятности дефолта . Затем с использованием среднего рейтингового балла и стандартного отклонения dR определяются параметры рейтинговой модели:

См. подробнее: подпараграф 2.4.2 «Методика построения С A P (RO С) — кр и вой и расчета мощности AR» настоящего пособия.

После проведения калибровки рейтингового балла на ожидаемую частоту дефолтов проводится сопоставление значений рейтинговых баллов с рейтинговыми разрядами табл. 2.1 после совмещения соответствующих вероятностей дефолта.

Согласно рекомендациям Соглашения Базель 11 калибровка зависимости «рейтинг/вероятность дефолта PD» должна пересматриваться (верифицироваться) не реже одного раза в год с учетом обновления статистических данных и макроэкономических тенденций. При внесении изменений в рейтинговую модель (внесение/исключение параметров, добавление новых экспертных факторов, коррекция весов) необходима новая калибровка модели.

При следующих упрощающих предположениях из формул (19) и (20) возможно получить приближенные формулы для вычисления параметров Л и В в элементарных функциях:

• • справедливо предположение нормальности распределения рейтинговых баллов в портфеле (отсутствие значительного эксцесса и жесткой системы «отсечения» заемщиков, когда в выборку не попадают заемщики с баллом ниже определенного);
• • справедливо ограничение на качество рейтинговой системы, AR не более 0,5—0,6, т. е. не выше, чем «хорошее»;
• • справедливо ограничение на качество портфеля — «среднее», т. е. средняя частота дефолтов PD не выше 8—10%.

Тогда можно определить нормированные показатели а, b (16) и (17) по явным формулам.

При этом нормированные показатели а, Ь определяются по формулам^[5]:

Рассмотрим пример, где рейтинговый отраслево-целевой сектор имеет среднюю вероятность дефолта = 3%, система рейтингования имеет качество «среднее» с оценкой AR = 0,28 (28%). Тогда получается, что: а = 0,528, b = 3,606.

При среднем показателе рейтингового балла = 42,8, разбросе dR = = 14,1 по формулам (21) получается:

А = 0,037;

В = 2,004.

Зависимость вероятности дефолта (16) от рейтингового балла будет выглядеть, как показано на рис. 4.2 (сплошная кривая), совместно с распределением баллов (пунктирная кривая).

Рис. 4.2. Зависимость вероятности дефолта PD от рейтингового балла (сплошная кривая) совместно с распределением баллов (пунктирная кривая).

Из графика рис. 4.2 можно сделать следующие выводы.

• 1. Если рейтинговый балл отклонится от среднего на одно стандартное отклонение в худшую сторону и составит 28,7, то вероятность дефолта будет PD = 4,4%; если отклонится на одно стандартное отклонение в лучшую сторону и составит 56,9, то PD = 1,6%. Столь слабый разброс вероятностей дефолта между баллами «ниже среднего» и «выше среднего» получается вследствие низкого (среднего) качества рейтинговой системы.
• 2. Если качество отражения состояния кредитоспособности заемщика рейтинговым баллом усилить до AR = 0,5 (т.е. «хорошее»), то получается «ниже среднего» PD (28,7) = 5,2%, «выше среднего» PD (56,9) = 0,62%.

Для нестандартных распределений рейтингового балла необходимо напрямую численно решать уравнения (19), (20)^[6] либо использовать прямую калибровку по явному виду СЛР-кривой, технология которой будет изложена в подпараграфе 4.2.3.

• [1] В англоязычных источниках, но рискам часто встречается термин EOF (Expected DefaultFrequency), обозначающий ожидаемую частоту дефолтов в год, или Центральная тенденцияСТ (Central Tendency). Его часто приравнивают по смыслу к вероятности дефолта, посколькус точки зрения аксиом теории вероятностей это неразличимые понятия (т.е. равные).
• [2] См.: параграф 2.4 «Оценка дискриминирующего качества рейтинговых показателейна статистике дефолтов» настоящего пособия.
• [3] ПВР-подход Базель II рекомендует период не менее пяти лет (и. 463 Базельскогосоглашения). Хранить же данные необходимо в течение минимум 10 лег. См.: и. 12.19 Положения № 483-П (примеч. науч. ред.).
• [4] Средняя вероятность дефолта может быть скорректирована экспертно от значения, полученного непосредственно по статистической базе. Этот параметр является однимиз основных, отвечающих за консолидированный уровень риска по портфелю.
• [5] Вывод опубликован в ст.: Помазанов М., Хамалинский А. Калибровка рейтинговоймодели для секторов с низким количеством дефолтов // Управление финансовыми рисками.2012. № 02(30). С. 82−94.
• [6] Вывод формул, указанных в подпараграфе 3.4.3 «Расчет финансовых показателей», выходит за рамки данной книги. Результаты расчетов по этим формулам хорошо согласуются с прямыми численными расчетами А, В.