Точное решение для несжимаемого материала

Наиболее просто аналитическое решение получается для случая, когда v = 0,5. Из условия несжимаемости следует, что ?_ср = 0. Тогда, учитывая, что при плоской деформации е₂ = 0, из формулы (1.10) получим ?₀ = -?,., что позволяет проинтегрировать условие совместности деформаций (1.9), соответствующее рассматриваемой задаче. В итоге получим.

где С, — константа интегрирования.

Подставляя полученное выражение для е, в формулу (7.1), получим.

Полагая во втором равенстве (1.15) v₀ = 0,5, получим, что входящий в соотношения (1.14) параметр v, также равен 0,5, и из условия плоской деформации следует равенство.

Подставляя полученное соотношение в (1.1), найдем, что в данной задаче.

Приравнивая полученную формулу для ст, соответствующему выражению из (7.2) и учитывая, что из уравнения равновесия (2.13) при R = 0 следует.

приходим к дифференциальному уравнению.

Интегрируя полученное соотношение, находим.

Константы интегрирования С₁ и С₂ находятся из граничных условий на поверхностях г= а, Ь. Рассмотрим один из простейших случаев: р_а = 0, а при b —> оо р_ь = р_у что соответствует задаче о сжатии массива с малым цилиндрическим отверстием. При этом находим С₂ = -р> а полученное нелинейное уравнение относительно С, решается численно. Следует заметить, что при определении константы С_х может быть найдено несколько ее значений, из которых следует выбрать такое, чтобы при А—> 0 решение сходилось к решению для линейно-упругого материала. Подробнее об этом будет сказано в параграфе 7.2 при решении задачи для неоднородного толстостенного шара.

Приведем пример расчета для следующих параметров зависимости (7.1): Е = 3*10⁴ МПа; Л = 2−10^;) МПа; а = 1,5.

Для этих значений находим С, = 1,5617* 10 Лг. Выбирая в качестве критериальной величины (с которой будут сравниваться результаты расчетов с использованием приближенных методов) коэффициент концентрации напряжений.

получим для рассматриваемого точного решения k_G = 1,480.

Ниже приводятся решения рассмотренной задачи двумя приближенными методами.